Problem Ramseya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Problem Ramseya jest regułą dotyczącą polityki ustalania cen przez monopolistów, mającą na celu maksymalizację dobra społecznego (w zależności od ograniczeń w zyskach).

Niezwykle zbliżony problem pojawił się w związku z odpowiednim opodatkowywaniem dóbr (commodities). W monopolu marża powinna być ustalana w zależności od cenowej elastyczności popytu. Im bardziej elastyczny popyt, tym marża na dany produkt powinna być niższa. Początkowa reguła była przypisywana J. Robinsonowi , jednak później odkryto, że ten problem został już rozwiązany przez Franka Ramseya, tylko sformułowany w innym kontekście (opodatkowania). Reguła była w późniejszym czasie stosowana przez Marcela Boiteux przy badaniach nad monopolem. W monopolu występują straty zysków jeśli ustanowi on ceny produkcji na poziomie kosztów krańcowych.

Rozwiązanie matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Potencjalnym przedsiębiorcą jest monopolista, który wytwarza wiele różnych produktów.

(p_{1},...p_{N}) - ceny dla tych produktów

C(Z_{1},Z_{2}...,Z_{N})=C(Z) - Zn jest produkcją dobra n i pn jest ceną tego dobra.

Zakładamy, że produkty te są sprzedawane na oddzielnych rynkach, tak więc popyt na nie jest niezależny.

Z_{n}(p_{n}) - popyt na dane dobro

p_{n}(Z) - funkcja popytu

Zysk całkowity to:

R(p,z)=\sum\limits_{n}p_{n}z_{n}(p_{n})

Nadwyżka całkowita to:

W(p,z)=\sum\limits_{n}\left(\int\limits^{z_{n(p_{n})}}_{0} \, p_{n}(z)dz\right)- C_{z}

Należy zmaksymalizować W(p,z) w zależności od zysku \Pi.

\Pi=R-C powinno być równe pewnej ustalonej wartości \Pi^*.

Zazwyczaj ustanawia się wartość stałą na poziomie zera co gwarantuje, że straty w zyskach zostaną wyeliminowane.

R(p,z)- C(z)=\Pi^*

Najlepiej użyć metody mnożników Lagrange'a do wyznaczenia optymalnej wartości produkcji funkcji oraz cen.

p_{n}-C_{n}(z)=\lambda \left(\frac{\part R}{\part z_{n}}- C_{n}(Z) \right)=\lambda\left(p_{n}\left(1+\frac{z_{n}}{p_{n}}\frac{\part p_{n}}{\part z_{n}}\right)- C_{n}(Z)\right)

Gdzie \lambda jest współczynnikiem Lagrange’a, a C_{n}(z) pochodną cząstkową od C(z) po z_{n}, oszacowanej na podstawie z.

Dzieląc przez p_{n}:

\frac{p_{n}-C_{n}(z)}{p_{n}}= - {{k}\over{\epsilon_{n}}}

Gdzie k=\frac{\lambda}{1+\lambda } jest mniejsze od 1 i \epsilon_{n}=\frac{z_{n}}{p_{n}}\frac{\part p_{n}}{\part z_{n}} jest elastycznością popytu na dobro n. Marża i koszt krańcowy dla dobra n jest odwrotnie proporcjonalna do elastyczności popytu.

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

Frank Ramsey. A Contribution to the Theory of Taxation. „Economic Journal”. 37. s. 47–61 (ang.).