Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu p(z) a zerami jego pochodnej p'(z) na płaszczyźnie zespolonej \mathbb{C}. Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle'a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle'a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle'a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej \mathbb{R}, podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli p jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu w' należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu p.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci z-z_k, gdzie z_k to pierwiastki wielomianu. Niech więc p(z) będzie wielomianem stopnia n\ge 1, którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}. Zatem mamy

 p(z)= a_n (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n),

gdzie a_n\neq 0 jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze z^n. Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

 p'(z)= a_n ((z-z_2)\ldots(z-z_n)+(z-z_1)(z-z_3)\ldots(z-z_n)+\ldots+(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})),

i podzielmy p'(z) przez p(z) co daje

 \frac{p^\prime(z)}{p(z)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{z-z_k}.

Niech w\in\mathbb{C} będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: p'(w)=0. Jeżeli w\in\{z_1,\ldots,z_n\}, to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy w należy do otoczki wypukłej zbioru \{z_1,\ldots,z_n\}. Niech więc w\notin\{z_1,\ldots,z_n\},   to z powyższej równości otrzymamy

 \sum_{k=1}^n \frac{1}{w-z_k}=0,

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości z^{-1}=\overline{z}/|z|^2 daje

\ \sum_{k=1}^n \frac{\overline{w}-\overline{z_k} } {\vert w-z_k\vert^2}=0.

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron otrzymamy

\ \sum_{k=1}^n \frac{w-z_k} {\vert w-z_k\vert^2}=0,

co po przekształceniu daje

 \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}\right) w=
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}z_k.

Oznaczając

 t_k=\left(\frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}\right)/ \left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert w-z_j\vert^2}\right)

mamy    t_1,\ldots t_n\in[0, 1],\quad \sum_{k=1}^n t_k = 1    oraz

 w=\sum_{k=1}^n t_k z_k,

co jest kombinacją wypukłą wektorów z_1,\ldots,z_n.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Wyd. AGH, Kraków 2013.