Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu p(z) a zerami jego pochodnej p'(z) na płaszczyźnie zespolonej $\mathbb{C}$. Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle'a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle'a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle'a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej $\mathbb{R}$, podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź

Jeżeli p jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu w' należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu p.

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci $z-z_k$, gdzie $z_k$ to pierwiastki wielomianu. Niech więc $p(z)$ będzie wielomianem stopnia $n\ge 1$, którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to $z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}$. Zatem mamy

$p(z)= a_n (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n),$

gdzie $a_n\neq$ jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze $z^n$. Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

$p'(z)= a_n ((z-z_2)\ldots(z-z_n)+(z-z_1)(z-z_3)\ldots(z-z_n)+\ldots+(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_{n-1})),$

i podzielmy $p'(z)$ przez $p(z)$ co daje

$\frac{p^\prime(z)}{p(z)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{z-z_k}.$

Niech $w\in\mathbb{C}$ będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: $p'(w)=0$. Jeżeli $w\in\{z_1,\ldots,z_n\}$, to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy $w$ należy do otoczki wypukłej zbioru $\{z_1,\ldots,z_n\}$. Niech więc $w\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$,   to z powyższej równości otrzymamy

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{w-z_k}=0,$

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości $z^{-1}=\overline{z}/|z|^2$ daje

$\ \sum_{k=1}^n \frac{\overline{w}-\overline{z_k} } {\vert w-z_k\vert^2}=0.$

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron otrzymamy

$\ \sum_{k=1}^n \frac{w-z_k} {\vert w-z_k\vert^2}=0,$

co po przekształceniu daje

$\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}\right) w= \sum_{k=1}^n \frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}z_k.$

Oznaczając

$t_k=\left(\frac{1}{\vert w-z_k\vert^2}\right)/ \left(\sum_{j=1}^n \frac{1}{\vert w-z_j\vert^2}\right)$

mamy   $t_1,\ldots t_n\in[0, 1],\quad \sum_{k=1}^n t_k = 1$    oraz

$w=\sum_{k=1}^n t_k z_k,$

co jest kombinacją wypukłą wektorów $z_1,\ldots,z_n$.

Linki zewnętrzne

• [1] Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków (Dodatek do skryptu).
• [2] Uniwersytet Warszawski, (Zadania z funkcji analitycznych).

Bibliografia

• Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Kraków 2012.