Twierdzenie Hartogsa (analiza zespolona)

Twierdzenie Hartogsa – w analizie zespolonej, twierdzenie mówiące o ciągłości funkcji wielu zmiennych zespolonych, która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych. Dokładniej, twierdzenie to mówi, że

każda funkcja

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ,

która jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, jest ciągła.

Twierdzenie to udowodnione zostało przez Friedricha Hartogsa w 1906^[1]. Twierdzenie to nie ma odpowiednika w teorii rzeczywistych funkcji analitycznych funkcji wielu zmiennych. Istotnie, funkcja $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,$ dana wzorem

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq (0,0)\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}}

jest analityczna ze względu na każdą ze zmiennych, ale nie jest ciągła.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62 (1906) 1–88.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

[1] F. Hartogs, Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62 (1906) 1–88.

[1]