Prosta Simsona

Prosta Simsona punktu $P$ względem trójkąta $ABC$ została zaznaczona na niebiesko.

Prosta Simsona punktu $P$ względem trójkąta $ABC$ – w planimetrii, dla danego punktu $P$ leżącego na okręgu opisanym na trójkącie $ABC,$ prosta, na której leżą rzuty prostokątne punktu $P$ na proste $BC,$ $AC$ i $AB$.

Jej odkrycie przypisywane jest szkockiemu matematykowi, Robertowi Simsonowi, choć nie ma wzmianki o niej w żadnej jego pracy. Prosta ta bywa również nazywana prostą Wallace’a lub Wallace’a-Simsona od Williama Wallace’a, który jako pierwszy opublikował dowód jej istnienia w 1799 roku.

Twierdzenie

Dany jest punkt $P$ leżący na okręgu opisanym na trójkącie $ABC.$ Rzuty prostokątne punktu $P$ na proste $BC,$ $AC$ i $AB$ oznaczmy odpowiednio przez $L,$ $M$ i $N.$ Wówczas punkty $L,$ $M$ i $N$ leżą na jednej prostej.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeśli punkty $L,$ $M$ i $N$ są współliniowe, to punkt $P$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$.

Zwięźlej, punkt $P$ leży na okręgu opisanym na trójkącie $ABC$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego rzuty prostokątne na proste $BC,$ $AC$ i $AB$ leżą na jednej prostej.

Zobacz też

• wysokość trójkąta
• twierdzenie Newtona
• twierdzenie Pascala

Linki zewnętrzne

• MichałM. Kieza MichałM., O prostej Simsona raz jeszcze, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, wrzesień 2011, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-03-31]  (pol.).