Twierdzenie Stewarta

Twierdzenie Stewarta - twierdzenie geometrii płaskiej dotyczące związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. Twierdzenie udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w roku 1746.

Treść

Niech $a$, $b$, i $c$ będą długościami boków trójkąta. Niech $d$ będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok $a$ na dwa odcinki o długościach $m$ i $n$. Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że:

$b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,$

Dowód

Niech θ będzie kątem między m i d, zaś θ′ kątem między n i d. Ponieważ θ′ jest dopełnieniem kąta θ to zachodzi równość cos θ′ = −cos θ. Z twierdzenia cosinusów dla kąta θ i θ′ mamy

$\begin{align} c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\ b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\ &= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}$

Mnożąc pierwsze równanie przez n, drugie przez m, i dodając je otrzymujemy

$\begin{align} &b^2m + c^2n \\ &= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\ &= (m+n)(mn + d^2) \\ &= a(mn + d^2) \\ \end{align}$