Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Rysunek poglądowy dla twierdzenia Stewarta Twierdzenie Stewarta – twierdzenie planimetrii wykorzystywane do obliczania długości czewian . Zostało udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w 1746 roku.
Niech
a
,
{\displaystyle a,}
b
,
{\displaystyle b,}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
czewianą ). Jeżeli poprowadzony odcinek dzieli bok długości
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
b
2
m
+
c
2
n
=
a
(
d
2
+
m
n
)
.
{\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}
[1] Niech
θ
{\displaystyle \theta }
m
{\displaystyle m}
d
,
{\displaystyle d,}
θ
′
{\displaystyle \theta '}
n
{\displaystyle n}
d
.
{\displaystyle d.}
twierdzenie cosinusów dla kątów
θ
{\displaystyle \theta }
θ
′
{\displaystyle \theta '}
c
2
=
m
2
+
d
2
−
2
d
m
cos
θ
,
{\displaystyle c^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta ,}
(1)
b
2
=
n
2
+
d
2
−
2
d
n
cos
θ
′
.
{\displaystyle b^{2}=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '.}
(2)
Ponieważ kąty
θ
{\displaystyle \theta }
θ
′
{\displaystyle \theta '}
przyległe , zachodzi równość
cos
θ
′
=
−
cos
θ
,
{\displaystyle \cos \theta '=-\cos \theta ,}
b
2
=
n
2
+
d
2
+
2
d
n
cos
θ
{\displaystyle b^{2}=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta }
(3)
Mnożąc równanie (1) przez
n
,
{\displaystyle n,}
(3) przez
m
{\displaystyle m}
b
2
m
+
c
2
n
=
n
m
2
+
n
2
m
+
(
m
+
n
)
d
2
=
(
m
+
n
)
(
m
n
+
d
2
)
=
a
(
m
n
+
d
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}).\end{aligned}}}
↑ S.I. S.I. Zetel S.I. S.I. , Geometria trójkąta , Wydawnictwo Aksjomat Toruń, 2020, s. 31, ISBN 978-83-64660-96-2 (pol. ) . 
