Twierdzenie Stewarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rysunek poglądowy dla twierdzenia Stewarta

Twierdzenie Stewarta - twierdzenie geometrii płaskiej dotyczące związku między długościami boków trójkąta a tzw. czewianą. Twierdzenie udowodnione i opublikowane przez szkockiego matematyka Matthew Stewarta w roku 1746.

Treść[edytuj | edytuj kod]

Niech a, b, i c będą długościami boków trójkąta. Niech d będzie dowolnym odcinkiem (czewianą) łączącym wierzchołek naprzeciwko boku długości a z punktem na tym boku. Niech czewiana dzieli bok a na dwa odcinki o długościach m i n. Wówczas twierdzenie Stewarta mówi, że:

b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech θ będzie kątem między m i d, zaś θ′ kątem między n i d. Ponieważ θ′ jest dopełnieniem kąta θ to zachodzi równość cos θ′ = −cos θ. Z twierdzenia cosinusów dla kąta θ i θ′ mamy


\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
b^2  &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta' \\
&= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta.\, \end{align}

Mnożąc pierwsze równanie przez n, drugie przez m, i dodając je otrzymujemy


\begin{align}
&b^2m + c^2n \\
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)(mn + d^2) \\
&= a(mn + d^2) \\
\end{align}