Twierdzenie o przyrostach

Twierdzenie o przyrostach – uogólnienie twierdzenia Lagrange’a na funkcje o wartościach w przestrzeniach unormowanych.

Twierdzenie

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f\colon [a,b]\to Y$ będzie funkcją ciągłą, różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeżeli istnieje taka nieujemna liczba $M,$ że

$\|df(x)\|\leqslant M$ dla każdego $x\in (a,b),$

to

$\|f(b)-f(a)\|\leqslant M(b-a)$

Można również sformułować twierdzenie analogiczne do twierdzenia Cauchy’ego. Dokładniej:

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $f\colon [a,b]\to Y$ oraz $g\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ są ciągłe i różniczkowalne wewnątrz tego przedziału. Jeżeli

$\|df(x)\|\leqslant g'(x),$

to

$\|f(b)-f(a)\|\leqslant g(b)-g(a).$

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.brak strony w książce