Przestrzeń unormowana

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie unormowane pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej oraz innych działach matematyki takich jak, na przykład, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe. Szczególnie istotne z punktu widzenia szeroko pojętych zastosowań są przestrzenie Banacha, tzn. przestrzenie unormowane mające pewną szczególną własność związaną z ich strukturą metryczną: zupełność.

Historycznie to właśnie pewne konkretne przestrzenie Banacha, które jako pierwsze pojawiły się w kręgu zainteresowań matematyków pierwszej połowy XX w., stały się podwaliną powstania abstrakcyjnej (aksjomatycznej) teorii przestrzeni unormowanych. Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Odwzorowanie $\|\cdot\|\colon X \to [0, \infty)$ spełniające, dla wszystkich elementów $x,y$ przestrzeni $X$ i skalarów $\alpha$ z ciała $K,$ warunki:

• niezdegenerowania,

  $\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0;$

• dodatniej jednorodności,

  $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|;$

• nierówności trójkąta (podaddytywności),

  $\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|;$

nazywa się normą (w przestrzeni $X$), a przestrzeń $X$ z określoną normą $\|\cdot\|$ nazywa się przestrzenią unormowaną.

Uwagi

Każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek $x = 0 \Rightarrow \|x\| = 0.$ Z tego powodu wielu autorów zamiast pierwszego przyjmuje następujący warunek

• niezdegenerowania,

  $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Przykłady

Kule (koła) jednostkowe na płaszczyźnie dwuwymiarowej w sensie norm $\scriptstyle{\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2}$ i $\scriptstyle{\|\cdot\|_\infty}.$

W przestrzeniach współrzędnych $X = \mathbb R^n$ lub $X = \mathbb C^n$ można wprowadzić wiele norm; niech $\mathbf x = (x_1, \dots, x_n) \in X.$ Funkcje postaci

$\|\mathbf x\|_p = \bigl(|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p\bigr)^{1/p}$

są normami dla $1 \leqslant p < \infty$, nazywanymi p-tymi normami.

Normę $\|\cdot \|_2$ nazywa się często normą euklidesową i oznacza po prostu $|\cdot|,$ o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

W przestrzeni $X$ można wyróżnić także normę maksimum zadaną wzorem

$\|\mathbf x\|_\infty = \max\bigl\{|x_i|\colon\, i=1, \dots, n\bigr\}.$

Jej oznaczenie jest zgodne z p-tymi normami w tym sensie, iż $\|\mathbf x\|_p \to \|\mathbf x\|_\infty$ przy $p \to \infty.$

Jeżeli $K$ jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń $C(K)$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych, określonych na $K$, jest przestrzenią unormowaną (a nawet przestrzenią Banacha) z normą daną wzorem

$\|f\| = \sup\{|f(x)|\colon x\in K\}.$

Przykładem przestrzeni unormowanej, która nie jest zupełna jest np. przestrzeń $c_{00}$, tj. podprzestrzeń przestrzeni $\ell^\infty$ wszystkich ciągłów liczbowych których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych.

Większość przestrzeni unormowanych naturalnie pojawiających się w matematyce to przestrzenie Banacha – należą do nich, na przykład, przestrzenie L^p, przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy'ego. Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha. Innym przykładem niezupełnej przestrzeni unormowanej jest przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej).

Własności

Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię, przez co zagadnienie równoważności norm sprowadza się do zagadnienia równoważności metryk.

Dowodzi się, że warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm $\|\cdot\|_1$, $\|\cdot\|_2$ w przestrzeni $X$ jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych $c, C,$ które dla każdego elementu $x \in X$ spełniałyby warunek

$c\|x\|_1 \leqslant \|x\|_2 \leqslant C\|x\|_1.$

Z powyższego wynika bezpośrednio, że jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.

• W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.
• W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.

Związek z innymi przestrzeniami

Przestrzenie metryczne

W przestrzeni unormowanej $X$ wzór

$d(x, y) = \|x - y\|$

dla $x, y \in X$ indukuje metrykę na przestrzeni $X.$

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Przestrzenie topologiczne

Topologia wyznaczona przez normę przestrzeni jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa $X$ wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w X × X i K × X), która jest ponadto lokalnie wypukłaL standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłych zbiorów domkniętych jest rodzina

$\mathcal B_0 = \Big\{\overline B\left(0, \tfrac{1}{n}\right)\colon n = 1, 2, \dots\Big\}$

kul domkniętych o środku w zerze i promieniu $\tfrac{1}{n}.$

Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T₁ oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).

Przestrzenie unitarne

Jeśli $X$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot \rangle,$ to dla dowolnego $x \in X$ wzór

$\|x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}$

definiuje normę w tej przestrzeni.

Taką normę nazywa się generowaną bądź indukowaną przez iloczyn skalarny. Normy te spełniają tożsamość równoległoboku:

$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2.$

Norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:

$\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right).$

Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów

Jeżeli $X$ jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem $K,$ to przestrzeń $\mbox{Hom}(X, K)$ funkcjonałów liniowych określonych na $X$ i o wartościach w $K$ oznacza się zwykle symbolem $X'$ i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do $X$.

W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń $X^*$, nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń $X$ jest zupełna.

Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną $X^{**}$, poprzez odwzorowanie

$\kappa\colon X\to X^{**}$

dane wzorem

$\kappa(x)x^*=x^* x,\, x^*\in X^*$.

Z twierdzenia Goldstine'a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie $\kappa$ jest gęstym podzbiorem $X^{**}$ w sensie $X^*$-topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie $\kappa$ jest suriekcją. Przestrzeń $X^{**}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.

Z każdą parą $(X, Y)$ przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń $\operatorname L(X, Y)$ wszystkich ciągłych operatorów liniowych $X \to Y.$ W przestrzeni $\operatorname L(X,Y)$ wprowadza się normę wzorem

$\begin{align} \|\operatorname A\| & = \inf\bigl\{c > 0\colon \|\operatorname Ax\| \leqslant c\|x\|,\, x \in X\bigr\} = \\ & = \sup\bigl\{\|\operatorname Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| \leqslant 1\bigr\} = \\ & = \sup\{\|\operatorname Ax\|\colon x \in X,\,\|x\| = 1\bigr\} = \\ & = \sup\left\{\tfrac{\|\operatorname Ax\|}{\|x\|}\colon\, x \in X,\, x \neq 0\right\},\, \operatorname A \in \operatorname L(X,Y) \end{align}$

Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią nietrywialną.

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0387972455.
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976.
• Nicolas Bourbaki: Topological vector spaces. Berlin: Springer, 1987, s. I.3. ISBN 3-540-42338-9.