Układ singularny

Układ uogólniony o równaniach stanu w postaci:

$\mathbf {E} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Du} (t),$

gdzie:

• zmienne: wejściowe $\mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},$ wyjściowe $\mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}$ i zmienne stanu $\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}$ oraz
• macierz stanu $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},$ macierz wyjść $\mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},$ macierz wejść $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},$ macierz przenoszenia $\mathbf {D} \in \mathbb {R} ^{pm}$ oraz $\mathbf {E} \in \mathbb {R} ^{qn},$

nazywany jest układem singularnym, jeśli rząd $\mathbf {E} =r<n.$ W przypadku szczególnym, gdy $q=n,$ wyżej podany układ jest singularny, jeżeli $det\mathbf {E} =0$ (tzn. $\mathbf {E}$ jest macierzą osobliwą).

Rozkład na podukłady

Istnieją takie macierze nieosobliwe $\mathbf {P} ,\mathbf {Q} \in \mathbb {R} ^{nn},$ że układ singularny opisany równaniami podanymi na wstępie (przy założeniu, że pęk macierzy $(\mathbf {E} ,\mathbf {A} )$ jest regularny), można rozłożyć na:

• układ wolny (standardowy)

${\dot {\mathbf {x_{1}} }}(t)=\mathbf {A_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {B_{1}u} (t),$

$\mathbf {y_{1}} (t)=\mathbf {C_{1}x_{1}} (t)+\mathbf {D_{1}u} (t)$

• i układ szybki (ściśle singularny)

$\mathbf {N} {\dot {\mathbf {x_{2}} }}(t)=\mathbf {x_{2}} (t)+\mathbf {B_{2}u} (t),$

$\mathbf {y_{2}} (t)=\mathbf {C_{2}x_{2}} (t)+\mathbf {D_{2}u} (t),$

gdzie $\mathbf {N} \in \mathbb {R} ^{n_{2}n_{2}}.$

Przykład układu singularnego

Niech dany będzie układ z proporcjonalno-różniczkowym sprzężeniem zwrotnym opisany równaniami:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t),$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t),$

$\mathbf {u} (t)=\mathbf {v} (t)-\mathbf {F_{1}} \mathbf {y} (t)-\mathbf {F_{2}} {\dot {\mathbf {y} }}(t),$

gdzie:

• zmienne: wejściowe $\mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{m},$ wyjściowe $\mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{p}$ i zmienne stanu $\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n},$ $\mathbf {v} (t)\in \mathbb {R} ^{m}$ nowym wektorem wymuszenia oraz
• macierz stanu $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{qn},$ macierz wyjść $\mathbf {C} \in \mathbb {R} ^{pn},$ macierz wejść $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{qm},$ $\mathbf {F_{1}} ,\mathbf {F_{2}} \in \mathbb {R} ^{qp}.$

Podstawiając drugie z powyższych równań do trzeciego, a otrzymane w ten sposób wyrażenie do pierwszego, otrzymujemy:

$\mathbf {[I+BF_{2}C]} {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {[A-BF_{1}C]x} (t)+\mathbf {Bv} (t).$

Układ opisany powyższym równaniem (oraz równaniem $\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)$) jest układem singularnym, jeśli macierz $\mathbf {E=[I+BF_{2}C]}$ jest macierzą osobliwą.