Macierz odwrotna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz $A$ jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz $B$, że zachodzi

$AB = BA = I$,

gdzie $I$ jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz $B$ nie istnieje, to macierz $A$ nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz $B$ nazywa się macierzą odwrotną do macierzy $A$ i oznacza się ją wówczas przez $A^{-1}$.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Warto pamiętać, że jeżeli w pierścieniu element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

Pełna grupa liniowa

Dla danego pierścienia $R$ zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia $n$ jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia $n$ nad $R$ i oznacza $\operatorname{GL}_n(R)$.

Odwracalność a nieosobliwość

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień $R$, nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli $R$ jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) - są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień $R$ nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste $R$ i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji $R^*$, czyli grupie $R^*/[R^*, R^*]$).

Własności

• Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:

  $\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$.

• Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,

  $\left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).

• Jeżeli macierz $A$ jest odwracalna, to także $A^{T}$ jest odwracalna,

  $\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$.

Uwagi

• Macierz jednostkowa $I$ jest odwracalna oraz $I^{-1} = I$ (wynika wprost z definicji).
• Macierz zerowa $\Theta$ jest nieodwracalna, a kwadratowa jest również osobliwa (wynika wprost z definicji).
• Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech $A$ będzie odwracalna, wówczas $A + (-A) = \Theta$.
• Dla nieosobliwej macierzy $A$ zachodzi równość $\det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}$.

Przykłady

Macierz

$A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \in \mathbb Z^2_2$ ma wyznacznik równy $-1$,

którego odwrotność w pierścieniu $\mathbb Z$ również wynosi $-1$. Zatem macierz $A$ ma macierz odwrotną w $\mathbb Z^2_2$.

Rzeczywiście,

$\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix}$,

a więc

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix}$.

Macierz

$B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ nad pierścieniem reszt $\mathbb Z_8$

ma wyznacznik równy 3, którego odwrotność w $\mathbb Z_8$ także wynosi $3$. Znowu, macierz jest odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

$B^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.

Wyznaczanie

Metoda dopełnień algebraicznych

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy $A$ obliczamy następująco:

$A^{-1} = {A^D \over \det A}$,

gdzie $A^D\;$ jest macierzą dołączoną do macierzy $A\;$ (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech $X \in M_{i \times j}(K)$, zaś $Y \in M_{i \times k}(K)$. Przez $\left[X|Y\right] \in M_{i \times (j+k)}(K)$ rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze $j$ kolumn jest kolumnami macierzy $X$, a następne $k$ kolumn jest kolumnami macierzy $Y$ (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do $A$, należy rozwiązać układ równań $AB = I$ względem macierzy $B$, która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy $\left[A|I\right]$ domnożyć macierz $B$ (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz $\left[AB|IB\right]$ (lub $\left[BA|BI\right]$). Ponieważ $B = A^{-1}$ to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako $\left[A|I\right] \mapsto \left[I|A^{-1}\right]$.

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy $B$, wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz $\left[A|I\right]$ w macierz $\left[I|A^{-1}\right]$. Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy $A$ w podmacierz jednostkową $I$ za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne

• Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:

  $\operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^{-1} = \operatorname{diag}(\tfrac{1}{\lambda_1}, \dots, \tfrac{1}{\lambda_n})$

• Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej $Q$ jest równa jej transpozycji (przestawieniu):

  $Q^{-1} = Q^T$

• Macierz odwrotna do macierzy wymiaru $2 \times 2$ może być szybko wyznaczona wg wzoru

  $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = {1 \over ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}$.

Zobacz też

• macierz
• uogólniona macierz odwrotna