1 − 2 + 4 − 8 + …

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

1 − 2 + 4 − 8 + … – w matematyce to szereg nieskończony, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 2 z naprzemiennym znakiem. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy −2.

\sum_{k=0}^{n} (-2)^k

Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje.W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona suma uogólniona 13.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Gottfried Leibniz rozważał naprzemienny rozbieżny szereg 1 − 2 + 4 − 8 + … już w 1673 roku. Twierdził, że od kolejności wykonywanych działań zależy ostateczny wynik, który wynosi +∞ lub −∞, wobec czego oba wyniki są błędne a całość powinna być skończona.

Si liceret subtrahere antecedens adimendum a sequenti addendo ut 4–2 et 16–8 etc. totum fieret infinitum. Si liceret subtrahere sequens ab antecedente 2–4, 8–16 etc. totum foret minus nihilo, toto infinito, nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito[1].

— Gottfried Leibniz

Nie dość tego, twierdząc, że szereg ma sumę, to ponadto wywnioskował związek z wartością 13, stosując metodę Merkatora[2].

Matematyka współczesna[edytuj | edytuj kod]

Szeregi geometryczne[edytuj | edytuj kod]

Dowolna metoda sumacyjna posiadająca właściwości regularności, liniowości i stabilności sumuje szeregi geometryczne

\sum_{k=0}^\infty a q^k = \frac{a}{1-q}

W tym przypadku a = 1 a q = –2, więc suma równa się 13.

Sumowanie Eulera[edytuj | edytuj kod]

Leonhard Euler, w swojej pracy Institutiones z 1755 roku, zastosował sposób nazywany obecnie transformacją Eulera, w celu przyspieszenia zbieżności szeregów naprzemiennych

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}

Korzystając z tej metody Euler twierdził, że suma szeregu 1 − 2 + 4 − 8 + … wynosi 13[3]. Nie jest to podejście współczesne – obecnie o takiej metodzie można powiedzieć, że zadany szereg jest sumowalny metodą Eulera, lub, że jego suma Eulerowska wynosi 13[4].

Fragment z Institutiones

Transformację Eulera rozpoczyna ciąg dodatnich składników:

a_0 = 1,
a_1 = 2,
a_2 = 4,
a_3 = 8,
\cdots

Skąd uzyskujemy ciąg różnic w przód:

\Delta a_0 = a_1 - a_0 = 2 - 1 = 1,
\Delta a_1 = a_2 - a_1 = 4 - 2 = 2,
\Delta a_2 = a_3 - a_2 = 8 - 4 = 4,
\Delta a_3 = a_4 - a_3 = 16 - 8 = 8,
\cdots

Ciąg ten okazuje się być identyczny jak ciąg początkowy. Stąd iterując kolejne wartości różnic w przód otrzymujemy

\Delta^n a_0 = 1

dla każdego n. Transformacją Eulera jest szereg

\frac{a_0}{2}-\frac{\Delta a_0}{4}+\frac{\Delta^2 a_0}{8}-\frac{\Delta^3 a_0}{16}+\cdots = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots.

Jest to zbieżny szereg geometryczny, którego suma obliczona w standardowy sposób wynosi 13.

Sumowanie Borela[edytuj | edytuj kod]

Sumowanie metodą Borela szeregu 1 − 2 + 4 − 8 + … także zwraca wynik 13. Kiedy Émile Borel przedstawiał wzory na obliczanie skończonych sum szeregów naprzemiennych w 1896 roku, zastosował ten szereg jako jeden z przykładów obok 1 − 1 + 1 − 1 + …[5].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Leibniz: De progressionibus intervallorum tangentium a vertice. 1673. (łac.)
  2. Leibniz s. 205-207; Knobloch s. 124–125
  3. Euler s. 234
  4. Korevaar s. 325
  5. Smail s. 7.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]