Szereg Grandiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg Grandiegoszereg nieskończony 1 − 1 + 1 − 1 + … zapisywany również jako

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Jest to szereg rozbieżny, to znaczy, że jego suma nie istnieje według definicji. Z drugiej strony sumowanie metodą Cesàro daje wynik 1/2.

Heurystyka[edytuj]

Aby znaleźć sumę szeregu

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

.

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

.

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

, czyli
,

która w wyniku daje . Do tego samego wyniku można dojść obliczając , odejmując wynik od i rozwiązując [1].

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

  • Szereg nie ma sumy[1][2]
  • ... ale jego suma „powinna” wynosić [2].

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „nie kończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami[3][4].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Devlin 1994 ↓, s. 77.
  2. a b Devlin 1994 ↓, s. 152.
  3. Kline 1983 ↓, s. 307.
  4. Knopp 1990 ↓, s. 457.

Bibliografia[edytuj]

  • Harry F.H. F. Davis Harry F.H. F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, maj 1989, ISBN 0-486-65973-9 (ang.).
  • KeithK. Devlin KeithK., Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe, Scientific American Library, 1994, ISBN 0-7167-6022-3.
  • MorrisM. Kline MorrisM., Euler and Infinite Series, „Mathematics Magazine”, 56 (5), listopad 1983, s. 307–314, DOI10.2307/2690371, JSTOR 2690371.
  • KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2.