Szereg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szereg geometrycznyszereg postaci

gdzie

jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a ilorazem szeregu geometrycznego.

-tą sumą częściową jest suma pierwszych wyrazów szeregu:

Wartość -tej sumy częściowej jest równa:

  •   dla  
  •   dla  

Dowód. Niech Wzór jest prawdziwy dla bowiem Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla Wówczas

W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego

Jeśli to wszystkie wyrazy szeregu są równe i -ta suma częściowa ma postać

Zbieżność szeregów geometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub Wówczas suma szeregu dana jest wzorem

Dowód.

  • Jeśli to gdyż
  • Jeśli to dla każdego zachodzi: więc a zatem

Od teraz załóżmy, że

  • Jeśli to i na mocy kryterium d’Alemberta szereg jest rozbieżny.
  • Jeśli to
  • Jeśli to wyraz ogólny szeregu jest postaci Zatem
Stąd gdy liczba jest nieparzysta oraz gdy liczba jest parzysta. Zatem granica nie istnieje.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2

W nieskończonym szeregu geometrycznym

iloraz jest równy zaś Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]