Szereg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg

 \sum_{n=1}^\infty  aq^{n-1} gdzie  a,q\in\mathbb{R}

Wówczas a jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego a qilorazem szeregu geometrycznego. n-tą sumą częściową jest liczba

S_n =  a + aq + ... + aq^{n-1} = \sum_{i=1}^n aq^{i-1}, \quad n \in \mathbb{N}.

Wzór na n-tą sumę częściową ma postać

S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}.

Dla q = 1 wzór na n-tą sumę częściową ma postać Sn = na.

Dowód. Wzór S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}, dla q\neq 1 zostanie wykazany przez indukcję. Zauważmy, że S_1=a=a\frac{1 - q}{1 - q}, czyli wzór jest prawdziwy dla n=1. Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla n. Wówczas

S_{n+1}=a + aq + ... + aq^{n-1}+aq^n=S_n+aq^n=a \frac{1 - q^n}{1 - q}+aq^n=a \frac{1 - q^n}{1 - q}+aq^n\frac{1 - q}{1 - q}=a \frac{1 - q^n+q^n-q^{n+1}}{1 - q}=a \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

W trzeciej równości wykorzystaliśmy hipotezę indukcyjną, tzn. S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q}. Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego n\in\mathbb{N}.

W przypadku, gdy q=1, to wszystkie wyrazy szeregu  \sum_{n=1}^\infty  aq^{n-1} są równe a. Zatem n-ta suma częściowa ma postać

S_n=\underbrace{a+a+...+a}_n=na.

Zbieżność szeregów geometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że a\neq 0. Szereg geometryczny \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1} jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna jego ilorazu q jest mniejsza od 1 (symbolicznie  |q|<1). Suma szeregu dana jest wzorem:

\sum_{n=1}^\infty a q^{n-1}=\frac{a}{1-q}.

Dowód. Suma szeregu \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1} jest równa granicy \lim_{n\to\infty} S_n, o ile ta granica istnieje; jeśli granica \lim_{n\to\infty} S_n nie istnieje lub jest równa \pm\infty, to szereg \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1} jest rozbieżny.

Jeśli  |q|<1, to \lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}a\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a}{1-q}, gdyż q^n\to 0.

Jeśli  q=1, to \lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}an=\infty.

Jeśli  |q|>1, to

\lim_{n\to\infty} |S_n|=\lim_{n\to\infty}\left|a\frac{1-q^n}{1-q}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|a\frac{1}{1-q}-a\frac{q^n}{1-q}\right|\geq\lim_{n\to\infty}\left||a\frac{1}{1-q}|-|a\frac{q^n}{1-q}|\right|=\left||a\frac{1}{1-q}|-\lim_{n\to\infty}|a\frac{q^n}{1-q}|\right|.

W powyższym wykorzystaliśmy nierówność |a-b|\geq\Big||a|-|b|\Big|, która jest prawdziwa dla dowolnych a,b\in\mathbb{R}. Zauważmy, że \lim_{n\to\infty}|a\frac{q^n}{1-q}|=\infty, gdyż |q|^n\to\infty. W konsekwencji \lim_{n\to\infty}|S_n|=\infty. To dowodzi, że szereg \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1} jest rozbieżny.

Jeśli  q=-1, to wyraz ogólny szeregu \sum_{n=1}^\infty a q^{n-1} jest postaci a(-1)^{n-1}. Zatem

\sum_{n=1}^\infty a q^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\dots

Stąd S_n=a, gdy liczba  n jest nieparzysta oraz S_n=0, gdy liczba  n jest parzysta. Zatem granica \lim_{n\to\infty}S_n nie istnieje.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2.

Rozważmy nieskończony szereg geometryczny

 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} .

Iloraz  q \, tego szeregu jest równy  \frac{1}{2} , zaś  a_1 = 1 . Wobec tego zgodnie z powyższym wzorem

 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]