Szereg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szeregiem geometrycznym nazywamy szereg

gdzie

Wówczas a jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego a qilorazem szeregu geometrycznego. n-tą sumą częściową jest liczba

Wzór na n-tą sumę częściową ma postać

Dla q = 1 wzór na n-tą sumę częściową ma postać Sn = na.

Dowód. Wzór dla zostanie wykazany przez indukcję. Zauważmy, że , czyli wzór jest prawdziwy dla . Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla n. Wówczas

W trzeciej równości wykorzystaliśmy hipotezę indukcyjną, tzn. Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego

W przypadku, gdy q=1, to wszystkie wyrazy szeregu są równe . Zatem n-ta suma częściowa ma postać

Zbieżność szeregów geometrycznych[edytuj]

Załóżmy, że . Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna jego ilorazu q jest mniejsza od 1 (symbolicznie ). Suma szeregu dana jest wzorem:

Dowód. Suma szeregu jest równa granicy , o ile ta granica istnieje; jeśli granica nie istnieje lub jest równa , to szereg jest rozbieżny.

Jeśli , to , gdyż .

Jeśli , to .

Jeśli , to

.

W powyższym wykorzystaliśmy nierówność , która jest prawdziwa dla dowolnych . Zauważmy, że , gdyż . W konsekwencji . To dowodzi, że szereg jest rozbieżny.

Jeśli , to wyraz ogólny szeregu jest postaci . Zatem

Stąd , gdy liczba jest nieparzysta oraz , gdy liczba jest parzysta. Zatem granica nie istnieje.

Przykład[edytuj]

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2.

Rozważmy nieskończony szereg geometryczny

Iloraz tego szeregu jest równy , zaś . Wobec tego zgodnie z powyższym wzorem

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też[edytuj]