Szereg geometryczny

Szereg geometryczny – szereg postaci

$\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}\;{}$ gdzie ${}\;a,q\in \mathbb {R}$

$a$ jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a $q$ – ilorazem szeregu geometrycznego.

$n$-tą sumą częściową jest suma pierwszych $n$ wyrazów szeregu:

$S_{n}=a+aq+\ldots +aq^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}aq^{k-1},\quad n\in \mathbb {N} .$

Wartość $n$-tej sumy częściowej jest równa:

• $S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$  dla  $q\neq 1,$
• $S_{n}=na$  dla  $q=1.$

Dowód. Niech $q\neq 1.$ Wzór jest prawdziwy dla $n=1,$ bowiem $S_{1}=a=a{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.$ Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla $n.$ Wówczas

$S_{n+1}=S_{n}+aq^{n}\ \ {\stackrel {*}{=}}\ \ a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+aq^{n}{\frac {1-q}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}=a{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne $S_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$ Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego $n\in \mathbb {N} .$

Jeśli $q=1,$ to wszystkie wyrazy szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}$ są równe $a$ i $n$-ta suma częściowa ma postać

$S_{n}=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}=na.$

Zbieżność szeregów geometrycznych

Szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$ lub $a=0.$ Wówczas suma szeregu dana jest wzorem $\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}={\frac {a}{1-q}}.$

Dowód.

• Jeśli $|q|<1,$ to $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},$ gdyż $q^{n}\to 0.$
• Jeśli $a=0,$ to dla każdego $n$ zachodzi: $a_{n}=0,$ więc $S_{n}=0,$ a zatem $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0.$

Od teraz załóżmy, że $a\neq 0.$

• Jeśli $|q|>1,$ to ${\Bigg |}{\frac {aq^{n}}{aq^{n-1}}}{\Bigg |}=|q|>1$ i na mocy kryterium d’Alemberta szereg $\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}$ jest rozbieżny.
• Jeśli $q=1,$ to $\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }an=\infty .$
• Jeśli $q=-1,$ to wyraz ogólny szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}$ jest postaci $a(-1)^{n-1}.$ Zatem

$\sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\ldots$

Stąd $S_{n}=a,$ gdy liczba $n$ jest nieparzysta oraz $S_{n}=0,$ gdy liczba $n$ jest parzysta. Zatem granica $\lim _{n\to \infty }S_{n}$ nie istnieje.

Przykład

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + \dots równą 2

W nieskończonym szeregu geometrycznym

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}.$

iloraz $q$ jest równy ${\frac {1}{2}},$ zaś $a_{1}=1.$ Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.$

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też

• szereg funkcyjny