Szereg geometryczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg geometrycznyszereg postaci

gdzie

a jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a qilorazem szeregu geometrycznego.

n-tą sumą częściową jest suma pierwszych n wyrazów szeregu:

Wartość n-tej sumy częściowej jest równa:

  •   dla  
  •   dla  .

Dowód. Niech . Wzór jest prawdziwy dla , bowiem . Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla n. Wówczas

W równości oznaczonej gwiazdką „ * ” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego

Jeśli , to wszystkie wyrazy szeregu są równe i n-ta suma częściowa ma postać

Zbieżność szeregów geometrycznych[edytuj]

Niech . Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy .

Dla suma szeregu dana jest wzorem .

Dowód.

  • Jeśli , to , gdyż .
  • Jeśli , to i na mocy Kryterium d’Alemberta szereg jest rozbieżny.
  • Jeśli , to .
  • Jeśli , to wyraz ogólny szeregu jest postaci . Zatem
Stąd , gdy liczba jest nieparzysta oraz , gdy liczba jest parzysta. Zatem granica nie istnieje.

Przykład[edytuj]

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + ... równą 2.

W nieskończonym szeregu geometrycznym

iloraz jest równy , zaś . Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też[edytuj]