Aksjomat sumy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat sumy to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela Fraenkela.

Wersja dla dwóch zbiorów[edytuj]

Dla dowolnych dwóch zbiorów A, B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów. Formalnie można to zapisać następująco:

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika ponadto istnienie co najwyżej jednego takiego zbioru. Istotnie gdyby C1, C2 były zbiorami istniejącymi na mocy aksjomatu sumy dla zbiorów A i B to:

a zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności mamy C1 = C2.

Ten jedyny zbiór nazywamy sumą A i B i oznaczamy: .

Wersja ogólna[edytuj]

Dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór B, że dla dowolnego zbioru C, C jest elementem B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór D będący elementem A i którego elementem jest C. Formalnie:

Analogicznie jak dla poprzedniego przypadku, stosując aksjomat ekstensjonalności, można łatwo wykazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru, który nazywamy wtedy sumą (rodziny) i oznaczamy .

Aksjomat sumy można też wypowiedzieć w następujący sposób: dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór, którego elementami są elementy elementów zbioru A i tylko one.