Aksjomat pary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat pary to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego jedynymi elementami są A i B. Formalnie:

 \forall A\ \forall B\ \exist C\ \forall D\ (D\in C \iff D=A \or D=B)[1]

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych A i B. Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną A i B i oznaczamy \{A, B\}.

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru X i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
 A, B \in X
to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
\varphi(D): D = A \or D = B
wtedy istnieje zbiór:
\{A, B\}=\{D \in X: \varphi(D)\}

Dalsze konstrukcje[edytuj]

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu A, czyli zbiór jednoelementowy:

{A} = \{A, A\}[2]

Zbiór \{A\} należy oczywiście odróżniać od zbioru A.

Mając dane zbiory A, B, C, możemy zatem skonstruować zbiory \{A, B\}, \{C\} i dalej wobec aksjomatu pary \{\{A, B\},\{C\}\}. Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór \{A, B, C\} zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech, itd. elementów[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowana[edytuj]

 Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów A i B:

 \langle A,  B \rangle = \{\{ A \},\{ A, B \}\}[4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Przypisy

  1. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 19.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 63.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 64.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 10.

Bibliografia[edytuj]

  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
  • Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.