Aksjomat pary
Aksjomat pary (nieuporządkowanej) – jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.
Postać formalna
[edytuj | edytuj kod]Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór którego jedynymi elementami są i Formalnie[1]:
Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych i Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną i i oznaczamy
Uwaga
- Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
- to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
- wtedy istnieje zbiór:
Dalsze konstrukcje
[edytuj | edytuj kod]Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu czyli zbiór jednoelementowy:
Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru
Mając dane zbiory możemy zatem skonstruować zbiory i dalej wobec aksjomatu pary Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech itd. elementów[3].
Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].
Para uporządkowana
[edytuj | edytuj kod]Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i
Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 19.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 63.
- ↑ Kuratowski i Mostowski 1966 ↓, s. 64.
- ↑ Guzicki i Zbierski 1978 ↓, s. 10.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
- Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Axiom of the Unordered Pair, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].