Aksjomat pary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat pary to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkela. Stwierdza on istnienie dla dowolnych dwóch elementów zbioru złożonego wyłącznie z tych dwóch elementów.

Postać formalna[edytuj]

Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór , którego jedynymi elementami są i . Formalnie:

[1]

Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności, łatwo można pokazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru dla dowolnych danych i . Zbiór ten nazywamy parą nieuporządkowaną i i oznaczamy .

Uwaga

Jeśli ograniczyć zakres rozważanych zbiorów do podzbiorów pewnego ustalonego z góry zbioru i wybrać dwa takie podzbiory, tzn. niech
to wówczas do utworzenia pary z tych zbiorów nie jest potrzebny aksjomat pary. Możemy to zrobić, korzystając jedynie z aksjomatu wyróżniania. Mianowicie rozważmy predykat:
wtedy istnieje zbiór:

Dalsze konstrukcje[edytuj]

Mając już daną parę zbiorów, możemy teraz zdefiniować zbiór złożony tylko z jednego elementu , czyli zbiór jednoelementowy:

[2]

Zbiór należy oczywiście odróżniać od zbioru .

Mając dane zbiory , , , możemy zatem skonstruować zbiory , i dalej wobec aksjomatu pary . Korzystając z aksjomatu sumy, otrzymamy stąd zbiór zwany trójką nieuporządkowaną. Postępując dalej analogicznie, możemy definiować zbiory złożone z trzech, czterech, itd. elementów[3].

Przy pomocy tej konstrukcji możemy skonstruować dowolne zbiory skończone. Istnienie zbioru nieskończonego wynika z aksjomatu nieskończoności i jest niezależne od aksjomatu pary[potrzebny przypis].

Para uporządkowana[edytuj]

 Osobny artykuł: Para uporządkowana.

Możemy także zdefiniować parę uporządkowaną zbiorów i :

[4]

Aksjomat pary zapewnia istnienie, a aksjomat ekstensjonalności jednoznaczność tej definicji.

Przypisy

  1. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 19.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 63.
  3. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 64.
  4. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 10.

Bibliografia[edytuj]

  • Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
  • Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.