Biegun (analiza zespolona)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Bieguny funkcji Gamma

Biegunem funkcji meromorficznej f(z) nazywamy taki punkt osobliwy tej funkcji z=a, w którego otoczeniu f(z) nie jest ograniczona, a ponadto:

\lim\limits_{z\to a} f(z)=\infty

Dodatkowo, biegun ten jest rzędu k jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu a składa się z k wyrazów (jeśli jest nieskończona to punkt a jest punktem istotnie osobliwym).

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli punkt a jest biegunem m-krotnym funkcji f(z) to funkcja

g(z)=\frac{1}{f(z)}

jest również meromorficzna i w punkcie a posiada zero m-krotne. Również odwrotnie: jeśli punkt a jest zerem m-krotnym funkcji f(z) to funkcja g(z) w punkcie a posiada biegun m-krotny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja
f(z)=\frac{1}{2-z}+\frac{1}{(z-1)^2}
w punkcie z = 1 ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie z = 2 ma biegun jednokrotny.
  • Funkcja
f(z)=\tan(z)
w punktach z=\pi(k-\tfrac12) ma bieguny rzędu 1.