Przejdź do zawartości

Funkcja meromorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Funkcja meromorficzna – funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji [1][2].

Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej

Funkcjami meromorficznymi są:

  • wszystkie funkcje wymierne, np.

Funkcja logarytmiczna nie jest funkcją meromorficzną - oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia (pokazano tu wykres jej części urojonej).
  • jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
  • ,
  • ,
  • Funkcja Γ (gamma Eulera),
  • funkcja ζ (dzeta Riemanna)

Funkcjami meromorficznymi nie są:

  • wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.)
  • funkcja logarytmiczna
  • dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
  • oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość gdzie indziej niż w nieskończoności
  • wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).

Twierdzenia I

[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenia II

[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną na sferze Riemanna można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

przy czym funkcja nie może być stale równa Zbiór biegunów jest zbiorem zer funkcji

Tw. 2 Jeżeli zbiór jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

gdzie oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. funkcje meromorficzne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. a b c d Franciszek Leja, Funkcje zespolone, PWN, 1971, s. 126 (pol.).

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]