Funkcja meromorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja meromorficzna – funkcja f, określona na otwartym podzbiorze D płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze D\setminus S, gdzie S\; oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji f.

Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

f(z)=\frac{h_1(z)}{h_2(z)},

przy czym funkcja h_2 nie może być stale równa 0. Zbiór biegunów S\; jest zbiorem zer funkcji h_2.

Jeżeli zbiór D jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w D).

Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

f\colon D\to \mathbb{P}_1,

(gdzie \mathbb{P}_1 oznacza sferę Riemanna), które nie są stale równe \infty.

Przykłady[edytuj]

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej
  • Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna;
  • Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne są funkcjami meromorficznymi;
  • Funkcja gamma, funkcja dzeta Riemanna są meromorficzne;
  • Funkcje eliptyczne, czyli "dwuokresowe" funkcje meromorficzne określone na \mathbb{C};
  • Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne, określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, niezmiennicze na działanie grupy modularnej (w szczególności, tzw. J-niezmiennik);
  • f(z)=\tfrac{1}{\sin(z)} - przykład funkcji meromorficznej, która ma nieskończenie wiele biegunów.

Bibliografia[edytuj]

  1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.