Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna – funkcja $f,$ określona na otwartym podzbiorze $D$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze $D\setminus S,$ gdzie $S$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji $f$.

Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.

Przykłady

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej

Funkcjami meromorficznymi są:

• wszystkie funkcje wymierne, np.

$f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}$

Funkcja logarytmiczna $f(z)=\ln(z)$ nie jest funkcją meromorficzną - oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia (pokazano tu wykres jej części urojonej).

• $f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}$ jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
• $f(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}$,
• $f(z)=\tan(z)$,
• $f(z)={\frac {\sin(z)}{(z-1)^{2}}}$
• Funkcja Γ (gamma Eulera),
• funkcja ζ (dzeta Riemanna)

Funkcjami meromorficznymi nie są:

• wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.${\sqrt {z}}$)
• funkcja logarytmiczna $f(z)=\ln(z)$
• dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
• $f(z)=\mathrm {e} ^{\frac {1}{z}}$ oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość gdzie indziej niż w nieskończoności
• wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).

Twierdzenia I

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna.
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi.
• Każda funkcja meromorficzna na płaszczyźnie domkniętej (tzn. na Sfera Riemanna ), jest funkcją wymierną.
• Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na $\mathbb {C} .$
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.

Twierdzenia II

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną na sferze Riemanna można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

$f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},$

przy czym funkcja $h_{2}$ nie może być stale równa $0.$ Zbiór biegunów $S$ jest zbiorem zer funkcji $h_{2}.$

Tw. 2 Jeżeli zbiór $D$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w $D$).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

$f\colon D\to \mathbb {P} _{1},$

gdzie $\mathbb {P} _{1}$ oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji $\infty .$

Zobacz też

• biegun (analiza zespolona)

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Funkcje meromorficzne na MathWorld