Funkcja meromorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja meromorficzna – funkcja , określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze , gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji .

Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

,

przy czym funkcja nie może być stale równa . Zbiór biegunów jest zbiorem zer funkcji .

Jeżeli zbiór jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ).

Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

,

(gdzie oznacza sferę Riemanna), które nie są stale równe .

Przykłady[edytuj]

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej
  • Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna;
  • Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne są funkcjami meromorficznymi;
  • Funkcja gamma, funkcja dzeta Riemanna są meromorficzne;
  • Funkcje eliptyczne, czyli "dwuokresowe" funkcje meromorficzne określone na ;
  • Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne, określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, niezmiennicze na działanie grupy modularnej (w szczególności, tzw. J-niezmiennik);
  • - przykład funkcji meromorficznej, która ma nieskończenie wiele biegunów.

Bibliografia[edytuj]

  1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.