Funkcja meromorficzna
Funkcja meromorficzna – funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji [1][2].
Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]
Funkcjami meromorficznymi są:
- wszystkie funkcje wymierne, np.

- jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
- ,
- ,
- Funkcja Γ (gamma Eulera),
- funkcja ζ (dzeta Riemanna)
Funkcjami meromorficznymi nie są:
- wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.)
- funkcja logarytmiczna
- dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
- oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość gdzie indziej niż w nieskończoności
- wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).
Twierdzenia I
[edytuj | edytuj kod]- Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna[2].
- Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi[2].
- Każda funkcja meromorficzna na płaszczyźnie domkniętej (tzn. na Sfera Riemanna ), jest funkcją wymierną[2].
- Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na
- Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.
Twierdzenia II
[edytuj | edytuj kod]Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną na sferze Riemanna można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:
przy czym funkcja nie może być stale równa Zbiór biegunów jest zbiorem zer funkcji
Tw. 2 Jeżeli zbiór jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ).
Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna
gdzie oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ funkcje meromorficzne, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ a b c d Franciszek Leja , Funkcje zespolone, PWN, 1971, s. 126 (pol.).
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.