Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna – funkcja $f,$ określona na otwartym podzbiorze $D$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze $D\setminus S,$ gdzie $S$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji $f$.

Twierdzenia

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

$f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},$

przy czym funkcja $h_{2}$ nie może być stale równa $0.$ Zbiór biegunów $S$ jest zbiorem zer funkcji $h_{2}.$

Tw. 2 Jeżeli zbiór $D$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w $D$).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

$f\colon D\to \mathbb {P} _{1},$

gdzie $\mathbb {P} _{1}$ oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji$\infty .$

Twierdzenia cd.

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna.
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi.
• Funkcja Γ (Gamma), funkcja ζ (dzeta Riemanna) są meromorficzne.
• Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na $\mathbb {C} .$
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.
• $f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}$ jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce