Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna – funkcja $f$$f$, określona na otwartym podzbiorze $D$$D$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze $D\setminus S$$D\setminus S$, gdzie $S\;$$S\;$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji $f$$f$.

Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

$f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}}$$f(z)=\frac{h_1(z)}{h_2(z)}$,

przy czym funkcja $h_{2}$$h_2$ nie może być stale równa $0$$0$. Zbiór biegunów $S\;$$S\;$ jest zbiorem zer funkcji $h_{2}$$h_2$.

Jeżeli zbiór $D$$D$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w $D$$D$).

Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

$f\colon D\to \mathbb {P} _{1}$$f\colon D\to \mathbb{P}_1$,

(gdzie $\mathbb {P} _{1}$$\mathbb{P}_1$ oznacza sferę Riemanna), które nie są stale równe $\infty$$\infty$.

Przykłady

Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna;
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne są funkcjami meromorficznymi;
• Funkcja gamma, funkcja dzeta Riemanna są meromorficzne;
• Funkcje eliptyczne, czyli "dwuokresowe" funkcje meromorficzne określone na $\mathbb {C}$${\mathbb {C}}$;
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne, określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, niezmiennicze na działanie grupy modularnej (w szczególności, tzw. J-niezmiennik);
• $f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}$$f(z)=\tfrac{1}{\sin(z)}$ - przykład funkcji meromorficznej, która ma nieskończenie wiele biegunów.

Bibliografia

1. Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1976.