Symbol bramki Hadamarda używany w obliczeniach kwantowych i na schematach obwodów kwantowych Bramka Hadamarda (ozn. w skrócie symbolem H ) – jednokubitowa bramka kwantowa , która przekształca qubity w stanach bazowych
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
superpozycje tych stanów z równymi wagami; zwykle wybiera się tak fazę, że bramka ta w notacji Diraca ma postać:
H
=
|
0
⟩
+
|
1
⟩
2
⟨
0
|
+
|
0
⟩
−
|
1
⟩
2
⟨
1
|
{\displaystyle H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|}
W reprezentacji macierzowej bramkę tą reprezentuje 2-wymiarowa macierz unitarna ; w bazie wektorów
|
0
⟩
,
|
1
⟩
{\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,^{-1}}
macierzy Hadamarda :
H
=
1
2
[
1
1
1
−
1
]
{\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}
Działanie bramki Hadamarda H dla wektorów bazowych (stanów bazowych)
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
H
|
0
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
,
{\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )},}
H
|
1
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
.
{\displaystyle H\,|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}.}
Wektory
H
|
0
⟩
,
H
|
1
⟩
{\displaystyle H|0\rangle ,H|1\rangle }
bazę ortonormalną w przestrzeni stanów jednego kubitu , którą nazywa się bazą Hadamarda i oznacza symbolami
|
+
⟩
≡
H
|
0
⟩
,
{\displaystyle |+\rangle \equiv H|0\rangle ,}
|
−
⟩
≡
H
|
1
⟩
.
{\displaystyle |-\rangle \equiv H|1\rangle .}
Bramka Hadamarda jak każda bramka kwantowa jest odwracalna: jej działanie prowadzi do pewnego stanu kwantowego to ponowne przejście tego stanu przez bramkę Hadamarda daje stan początkowy. Np.:
H
|
0
⟩
=
1
2
|
0
⟩
+
1
2
|
1
⟩
{\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle }
oraz
H
(
1
2
|
0
⟩
+
1
2
|
1
⟩
)
=
1
2
(
H
|
0
⟩
+
H
|
1
⟩
)
=
1
2
(
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
+
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
)
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
+
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
=
|
0
⟩
.
{\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(H|0\rangle +H|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}\right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle .}
Powyższą własność łatwo dowodzi się korzystając z postaci macierzowej bramki Hadamarda: podwójne zastosowanie tej bramki odpowiada mnożeniu macierzy bramki Hadamarda przez siebie, co daje macierz jednostkową :
H
⋅
H
=
1
2
[
1
1
1
−
1
]
⋅
1
2
[
1
1
1
−
1
]
=
[
1
0
0
1
]
{\displaystyle H\cdot H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
Oznacza to, że działanie kolejnych dwóch bramek jest identycznością , a więc nie zmienia stanu, na który działa.
Bramka Hadamarda ma podstawowe znaczenie dla obliczeń kwantowych, jako jedna z tzw. uniwersalnych bramek kwantowych (wszystkie inne bramki kwantowe można zbudować z bramek zbioru uniwersalnych bramek kwantowych).
