Symbol bramki Hadamarda używany w obliczeniach kwantowych i na schematach obwodów kwantowych
Bramka Hadamarda (ozn. w skrócie symbolem H ) – jednokubitowa bramka kwantowa reprezentowana przez 2-wymiarową macierz unitarną będącą iloczynem
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,^{-1}}
macierzy Hadamarda :
H
=
1
2
[
1
1
1
−
1
]
=
[
1
2
1
2
1
2
−
1
2
]
.
{\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}
Działanie bramki Hadamarda H dla wektorów bazowych (stanów bazowych)
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
H
|
0
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
,
{\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )},}
H
|
1
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
.
{\displaystyle H\,|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}.}
Wektory
{
H
|
0
⟩
,
H
|
1
⟩
}
{\displaystyle \{H|0\rangle ,H|1\rangle \}}
bazę w przestrzeni stanów jednego kubitu , którą nazywa się bazą Hadamarda . Bramka Hadamarda ma podstawowe znaczenie dla obliczeń kwantowych, jako tzw. uniwersalna bramka kwantowa.
Bramka Hadamarda jak każda bramka kwantowa jest odwracalna:
H
|
0
⟩
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
,
{\displaystyle H\,|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )},}
H
(
1
2
|
0
⟩
+
1
2
|
1
⟩
)
=
1
2
(
H
|
0
⟩
+
H
|
1
⟩
)
=
1
2
(
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
+
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
)
=
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
+
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
=
|
0
⟩
.
{\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(H|0\rangle +H|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle {\Big )}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big (}|0\rangle -|1\rangle {\Big )}\right)={\frac {1}{2}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +|0\rangle -|1\rangle {\Big )}=|0\rangle .}
