Ciało archimedesowe

Wizualizacja warunku Archimedesa

Ciało archimedesowe – ciało uporządkowane $(\mathbb {K} ,+,\cdot ,0,1,<)$ spełniające aksjomat Archimedesa, tzn. warunek:

$\forall _{a,b\in \mathbb {K} }\exists _{n\in \mathbb {N} }\ 0<a<b\Rightarrow na>b$.

Warunek Archimedesa można wyrazić także na inne równoważne sposoby, takie jak:

• $\forall _{a\in \mathbb {K} }\exists _{n\in \mathbb {N} }\ n>a$;
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$;
• $\lim _{n\to \infty }n=\infty$;
• Dowolny przekrój Dedekinda$(A,B)$ zbioru uporządkowanego $(\mathbb {K} ,<)$ spełnia warunek: $\forall _{n\in \mathbb {N} }\exists _{a\in A}\exists _{b\in B}\ b-a<{\frac {1}{n}}$;
• Zbiór ułamków ciała $\mathbb {K}$ jest gęsty w $\mathbb {K}$.

Przykłady ciał archimedesowych

Ciałem archimedesowym jest np. ciało liczb rzeczywistych. Co więcej – jest to największe ciało archimedesowe, tzn. każde ciało archimedesowe jest izomorficzne z pewnym podciałem ciała liczb rzeczywistych. Zatem każde rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych musi być niearchimedesowe; istnieją jednak również niearchimedesowe ciała nie będące rozszerzeniami ciała liczb rzeczywistych.

Przykłady ciał niearchimedesowych

Ciałem niearchimedesowym jest np. ciało liczb hiperrzeczywistych. Istnieją takie liczby hiperrzeczywiste $a\preccurlyeq b,$ że nie istnieje taka liczba naturalna $n,$ że $na\succcurlyeq b$.

Dowód niearchimedesowości ciała liczb hiperrzeczyywistych

Można poczynić najpierw obserwację, że $\{n\in \mathbb {N} :0<1/n\}=\mathbb {N} \in {\mathcal {U}},$ co oznacza, że $0^{*}\prec [(1/n)]$. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to $\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{0}}\ 1/n<r,$ skąd wynika, że $E:=\{n_{0}+i\}_{i=1}^{\infty }\subset \{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}$. Zbiór $E$ należy do ultrafiltru ${\mathcal {U}},$ zatem $\{n\in \mathbb {N} :1/n<r\}\in {\mathcal {U}}$. Zatem $\forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ 0^{*}\prec [(1/n)]\prec r^{*},$ co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa. $\square$

Jednak ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia zmodyfikowaną wersję aksjomatu Archimedesa, tzn. gdy dopuści się by wartość $n$ przebiegała zbiór liczb hipernaturalnych $\mathbb {N} ^{*},$ to spełniony jest warunek:

$\forall _{a\in \mathbb {R} ^{*}}\exists _{n\in \mathbb {N} ^{*}}\ a\prec n$.