Przekrój Dedekinda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nie odpowiadający żadnej liczbie wymiernej wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja[edytuj kod]

Niech (X, ≤ ) będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru X nazywa się każdą taką parę (A, B) złożoną z niepustych podzbiorów zbioru X, że,

  1. AB = X ,
  2. jeżeli aA oraz bB, to a < b,
  3. AB = ∅.

Zbiór A nazywany jest klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów[edytuj kod]

Przypuśćmy, że jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym . Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

  1. zbiór zawiera element największy, a zbiór ma element najmniejszy,
  2. zbiór ma element największy, ale w zbiorze nie istnieje element najmniejszy,
  3. w zbiorze nie ma elementu największego, ale w zbiorze istnieje element najmniejszy,
  4. ani zbiór nie ma elementu największego ani zbiór nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój wyznacza skok a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też[edytuj kod]

Przypisy

  1. R. Dedekind: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w "Essays on the Theory of Numbers", tłumaczenie i edycja: W. W. Beman, W. W., Dover 1901, 1963.