Przekrój Dedekinda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój (A_1, A_2) nie odpowiadający żadnej liczbie wymiernej wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\leqslant) będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru \mathbf{X} nazywamy parę zbiorów (A,B) taką, że A,B\subseteq \mathbf{X} oraz spełnione są następujące warunki:

  1. A\neq\emptyset, B\neq\emptyset,
  2. A\cup B=\mathbf{X},
  3. jeżeli a\in A i b\in B, to a<b.

Zbiór A nazywamy klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że (A,B) jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym (X,\leqslant). Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

  1. zbiór  A zawiera element największy, a zbiór  B ma element najmniejszy,
  2. zbiór  A ma element największy, ale w zbiorze  B nie istnieje element najmniejszy,
  3. w zbiorze  A nie ma elementu największego, ale w zbiorze  B istnieje element najmniejszy,
  4. ani zbiór  A nie ma elementu największego ani zbiór  B nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój (A,B) wyznacza skok a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. R. Dedekind: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w "Essays on the Theory of Numbers", tłumaczenie i edycja: W. W. Beman, W. W., Dover 1901, 1963.