Przekrój Dedekinda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczająca cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.

Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:

w każdym przypadku kiedy mamy przekrój nieodpowiadający żadnej liczbie wymiernej, wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić, że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru nazywa się każdą taką parę złożoną z niepustych podzbiorów zbioru że,

  1. jeżeli oraz to

Zbiór nazywany jest klasą dolną, a zbiór klasą górną przekroju.

Rodzaje przekrojów[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:

  1. zbiór zawiera element największy, a zbiór ma element najmniejszy,
  2. zbiór ma element największy, ale w zbiorze nie istnieje element najmniejszy,
  3. w zbiorze nie ma elementu największego, ale w zbiorze istnieje element najmniejszy,
  4. ani zbiór nie ma elementu największego ani zbiór nie ma elementu najmniejszego,

W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój wyznacza skok, a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. R. Dedekind: Stetigkeit und Irrationale Zahlen, 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w Essays on the Theory of Numbers, tłumaczenie i edycja: W.W. Beman, W.W., Dover 1901, 1963.