Izomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy algebry. Zobacz też: Izomorfizm (ujednoznacznienie).
Pięć pierwiastków z jedności
Obroty pięciokąta foremnego
Grupa pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) − funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie takie, że i jego odwrotność homomorfizmami.

O strukturach i powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z w .

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady[edytuj]

  • Izomorfizm z grupy w grupę to bijekcja zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że .
  • Izomorfizm z ciała w ciało to bijekcja taka, że .
  • Izomorfizm z częściowego porządku w częściowy porządek to funkcja wzajemnie jednoznaczna .

Teoria kategorii[edytuj]

Morfizm nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm taki, że oraz [1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to jest izomorfizmem, zaś nazywane jest po prostu odwrotnością . Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność jest także izomorficzna z odwrotnością . O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności[edytuj]

  1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2].
  2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady[edytuj]

  • W Set izomorfizmami są bijekcje.
  • W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
  • W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
  • W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
  • W Met izomorfizmami są izometrie.
  • W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Przypisy

  1. Bucur, Deleanu, op. cit., s.13
  2. Bucur, Deleanu, op. cit., s.13-14

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41.
  2. Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 49, seria: BM 16.
  3. Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 5 maja 2009]. (ang.)
  4. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  5. Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
  6. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.