Izomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Ten artykuł dotyczy algebry. Zobacz też: izomorfizm (ujednoznacznienie).
Pięć pierwiastków z jedności
Obroty pięciokąta foremnego
Grupa pierwiastków z jedynki piątego stopnia z działaniem mnożenia jest izomorficzna z grupą obrotów foremnego pięciokąta.

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) – funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W przypadku obiektów algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie takie, że i jego odwrotność homomorfizmami.

O strukturach i powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z w

Obiekty izomorficzne nie mogą być odróżnione tylko na podstawie własności użytych do zdefiniowania izomorfizmu i dlatego mogą być uważane za identyczne (różniące się w zasadzie tylko oznaczeniami) jeśli bierze się pod uwagę tylko te własności. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Izomorfizm z grupy w grupę to bijekcja zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że
  • Izomorfizm z ciała w ciało to bijekcja taka, że
  • Izomorfizm z częściowego porządku w częściowy porządek to funkcja wzajemnie jednoznaczna

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

Morfizm nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm taki, że oraz [1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to jest izomorfizmem, zaś nazywane jest po prostu odwrotnością Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność jest także izomorficzna z odwrotnością O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2][3].
  2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W Set izomorfizmami są bijekcje.
  • W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
  • W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
  • W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
  • W Met izomorfizmami są izometrie.
  • W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13.
  2. Bucur, Deleanu, op. cit., s. 13–14.
  3. Izmorofizm, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-22].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

Polskojęzyczna
Anglojęzyczna