Ciało uporządkowane

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ciało uporządkowaneciało w którym wyróżniony jest zbiór elementów dodatnich o następujących własnościach:

  1. zbiór jest sumą trzech zbiorów rozłącznych:
  2. zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie:
  3. zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie:

gdzie oraz [1][2].

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim lub większym od zera (oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

  1. Dla każdego ma miejsce jedna z trzech zależności:
  2. Jeśli i to
  3. Jeśli i to >0[3].
  • Nierówność oznacza, że [4], a nierówność oznacza, że [5].
  • Nierówność oznacza, że [6].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Dla każdych dwóch elementów albo albo albo Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało
  • Jeśli i to

Dowód: i czyli skąd

  • Jeśli i to

Dowód: Dlatego

  • Jeśli i to

Dowód: bo jeśli to co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli to co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego

  • Jeśli i to
  • Dla każdego niezerowego elementu ciała zachodzi nierówność W szczególności
  • czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
  • Jeśli to

Dowód: i dlatego

  • Jeśli to

Dowód:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane[7].
  • Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
  • Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
    • ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego znaki liczb oraz byłyby identyczne. Tymczasem
    • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe[edytuj | edytuj kod]

W każdym ciele charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu istnieje taka liczba całkowita że [8].

  • Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne[9].
  • Ciało liczb rzeczywistych może być uporządkowane tylko w jeden sposób[9].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 62. (ros.)
  2. W książce E. Artina Algebra geometryczna nie zakłada się przemienności mnożenia w ciele.
  3. ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976, s. 274. (ros.)
  4. Mówimy wtedy, że jest większy od zera.
  5. Mówimy wtedy, że jest mniejszy od zera i zapisujemy to
  6. Mówimy wtedy, że jest większy od
  7. E. Artin, op. cit., s. 66–70.
  8. E. Artin, op. cit., s. 70.
  9. a b E. Artin, op. cit., s. 71.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.)
  • Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.)