Dekompozycja Kalmana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.

Notacja[edytuj]

Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:

Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy . Niech rząd systemu wynosi . Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki do postaci w następujący sposób:

jest macierzą odwrotną o rozmiarach zdefiniowaną jako:

,

gdzie:

– macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne jak i nieobserwowalne;
– jest tak dobrana, że kolumny stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej;
– jest tak dobrana, że kolumny stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej;
– jest tak dobrana, że macierz jest odwrotna.

Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład, jeśli system jest zarówno obserwowalny jak i sterowalny wówczas , co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.

Forma standardowa[edytuj]

Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności można pokazać, że układ po transformacji ma macierze o następującej postaci:

Prowadzi to do wniosku, że:

  • Podukład jest zarówno osiągalny jak i obserwowalny.
  • Podukład jest osiągalny.
  • Podukład jest obserwowalny.

Zobacz też[edytuj]