Macierz odwrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz odwrotnaelement odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz A jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz B, że zachodzi

AB = BA = I,

gdzie I jest macierzą jednostkową.

Jeżeli taka macierz B nie istnieje, to macierz A nazywamy nieodwracalną, w przeciwnym wypadku macierz B nazywa się macierzą odwrotną do macierzy A i oznacza się ją wówczas przez A^{-1}.

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Warto pamiętać, że jeżeli w pierścieniu element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie[1].

Pełna grupa liniowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: pełna grupa liniowa.

Dla danego pierścienia R zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia n jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia n nad R i oznacza \operatorname{GL}_n(R).

Odwracalność a nieosobliwość[edytuj | edytuj kod]

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień R, nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli R jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) - są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień R nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste R i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji R^*, czyli grupie R^*/[R^*, R^*]).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:
    \left(A^{-1}\right)^{-1} = A.
  • Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,
    \left(AB\right)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).
  • Jeżeli macierz A jest odwracalna, to także A^{T} jest odwracalna,
    \left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz jednostkowa I jest odwracalna oraz I^{-1} = I (wynika wprost z definicji).
  • Macierz zerowa \Theta jest nieodwracalna, a kwadratowa jest również osobliwa (wynika wprost z definicji).
  • Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech A będzie odwracalna, wówczas A + (-A) = \Theta.
  • Dla nieosobliwej macierzy A zachodzi równość \det A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Macierz

A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \in \mathbb Z^2_2 ma wyznacznik równy -1,

którego odwrotność w pierścieniu \mathbb Z również wynosi -1. Zatem macierz A ma macierz odwrotną w \mathbb Z^2_2.

Rzeczywiście,

\begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 13 & 8 \end{bmatrix},

a więc

A^{-1} = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 13 & -8 \end{bmatrix}.

Macierz

B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} nad pierścieniem reszt \mathbb Z_8

ma wyznacznik równy 3, którego odwrotność w \mathbb Z_8 także wynosi 3. Znowu, macierz jest odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

B^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{4}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}.

Wyznaczanie[edytuj | edytuj kod]

Metoda dopełnień algebraicznych[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: dopełnienie algebraiczne.

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy A obliczamy następująco:

A^{-1} = {A^D \over \det A},

gdzie A^D\; jest macierzą dołączoną do macierzy A\; (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: metoda eliminacji Gaussa.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech X \in M_{i \times j}(K), zaś Y \in M_{i \times k}(K). Przez \left[X|Y\right] \in M_{i \times (j+k)}(K) rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze j kolumn jest kolumnami macierzy X, a następne k kolumn jest kolumnami macierzy Y (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do A, należy rozwiązać układ równań AB = I względem macierzy B, która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy \left[A|I\right] domnożyć macierz B (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz \left[AB|IB\right] (lub \left[BA|BI\right]). Ponieważ B = A^{-1} to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako \left[A|I\right] \mapsto \left[I|A^{-1}\right].

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy B, wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz \left[A|I\right] w macierz \left[I|A^{-1}\right]. Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy A w podmacierz jednostkową I za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególne[edytuj | edytuj kod]

  • Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:
    \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)^{-1} = \operatorname{diag}(\tfrac{1}{\lambda_1}, \dots, \tfrac{1}{\lambda_n})
  • Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej Q jest równa jej transpozycji (przestawieniu):
    Q^{-1} = Q^T
  • Macierz odwrotna do macierzy wymiaru 2 \times 2 może być szybko wyznaczona wg wzoru
    \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\
\end{bmatrix}^{-1} =
{1 \over ad - bc} \begin{bmatrix}
d & -b \\ -c & a \\
\end{bmatrix}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. pierwsza z powyższych równości definiuje element odwrotny lewostronny, druga zaś – prawostronny