Sterowalność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria sterowania.

Klasy układów
Układy statyczne - Układy dynamiczne
Układy liniowe - Układy nieliniowe
Układy stacjonarne - Układy niestacjonarne
Układy deterministyczne - Układy stochastyczne
Układy o parametrach skupionych - Układy o parametrach rozłożonych
Układy ciągłe - Układy dyskretne


Wybrane typy regulacji
Regulacja stałowartościowa
Regulacja nadążna
Regulacja optymalna
Regulacja adaptacyjna


Metody klasyczne
Opis typu wejście-wyjście
Stabilność
Transmitancja
Charakterystyki czasowe
Regulacja PID
Charakterystyki częstotliwościowe
Linie pierwiastkowe
Korekcja fazy


Nowoczesna teoria sterowania
Równania stanu - Stan układu
Sterowalność - Przesuwanie biegunów
Regulator liniowo-kwadratowy
Obserwowalność - Obserwator stanu
Filtr Kalmana
Regulator LQG
Sterowanie predykcyjne
Krzepkość - H-nieskończoność


Inne zagadnienia
identyfikacja systemów


Dziedziny powiązane
Teoria układów dynamicznych
Przetwarzanie sygnałów
Sztuczna inteligencja
Teoria decyzji
Metody numeryczne


Perspektywa historyczna
Historia automatyki
Teoretycy sterowania

Sterowalność (ang. controllability) – możliwość wpływania na stan badanego obiektu.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Sterowalność i obserwowalność to kluczowe zagadnienia przy analizie i syntezie układów regulacji.

Sterowalność to własność układu sterowania polegająca na tym, że istnieje sterowanie przeprowadzające układ w pewnym skończonym przedziale czasu do zadanego stanu (np. położenia, prędkości, przyspieszenia itp.), przy spełnieniu warunków początkowych.

Poglądowo rzecz ujmując, koncepcja sterowalności oznacza zdolność poruszania układem po całej jego przestrzeni konfiguracji z użyciem tylko pewnych dopuszczalnych czynności. Dokładna definicja różnicuje się nieco zależnie od typu stosowanego modelu. W literaturze przedmiotu spotyka się między innymi takie pojęcia jak: sterowalność stanu, sterowalność wyjść, sterowalność w kontekście zachowania.

Sterowalność odnosi się do możliwości wymuszenia przejścia układu do określonego stanu za pomocą odpowiednich sygnałów sterujących. Jeśli stan nie jest sterowalny, to żaden z sygnałów nie będzie mógł sterować takim stanem. Jeśli stan jest niesterowalny, ale jego dynamika jest stabilna, to wówczas taki stan nazywa się stabilizowalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia, spoglądając na wszystkie zmienne stanu układu, które mają być sterowane, każdy „niedobry” stan tych zmiennych musi być sterowalny i obserwowalny co ma zapewnić właściwe zachowanie układu zamkniętego. To znaczy, jeśli jedna z wartości własnych układu nie jest ani sterowalna, ani obserwowalna to odpowiadająca jej część dynamiki pozostanie nienaruszona w układzie zamkniętym. Jeśli taka wartość własna układu nie jest stabilna, to dynamika odpowiadająca tej wartości własnej będzie obecna w układzie zamkniętym, który stanie się przez to niestabilny. Nieobserwowalne bieguny układu nie są obecne w realizacji transmitancji operatorowej przez odpowiednie równania stanu, dlatego opis równaniami stanu bywa preferowany przy analizie układów regulacji.

Problemy związane z brakiem sterowalności lub obserwowalności mogą być rozwiązane między innymi przez dodanie urządzeń wykonawczych lub czujników.

Definicja – układ liniowy[edytuj | edytuj kod]

Liniowy układ sterowania jest sterowalny, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego możemy zastosować takie sterowanie , które w skończonym czasie spowoduje sprowadzenie do dowolnego końcowego stanu . Jeśli każdy stan systemu jest sterowalny, system nazywamy całkowicie sterowalnym.[1]

Definicja – układ nieliniowy[edytuj | edytuj kod]

Nieliniowy układ sterowania jest sterowalny, gdy macierz Liego ma pełny rząd.

Sposoby wyznaczania[edytuj | edytuj kod]

Sterowalność można sprawdzić na kilka sposobów, np.:

,
gdzie – macierz stanu, – macierz wejść (zob. równanie stanu),
Jeśli , to układ jest niesterowalny, w przeciwnym przypadku – sterowalny.
  • poprzez sprawdzenie odwracalności macierzy Grama (równoważne do kryterium Kalmana),
  • wyznaczenie rzędu macierzy Hautusa,
  • wyznaczenie rzędu macierzy wygenerowanej za pomocą nawiasów Liego.

Pierwsze trzy sposoby dotyczą układów liniowych, natomiast ostatni dotyczy układów nieliniowych (takich jak układ łańcuchowy). Jeśli układ jest sterowalny, rząd obliczonej macierzy będzie równy rzędowi układu.

Wzór – układ liniowy[edytuj | edytuj kod]

Stan układu w końcowej chwili (takiej, że ) ma postać:

.

Jako sterowanie można zaproponować funkcję:

.

Po podstawieniu do wzoru otrzymuje się wzór na M:

.

Wyrażenie w nawiasie to macierz Grama.

Założyć można, że układ jest niesterowalny. Istnieje wówczas taki , że , a tym samym . Po wprowadzeniu wektora oraz pod znak całki funkcję podcałkową można zapisać jako iloczyn , gdzie .

Ponieważ , to , a więc:

.

W ten sposób:

.

Kolejne pochodne tego wzoru będą przedstawiały się (pomijając znak) jako:

.

Po podstawieniu otrzymuje się:

,

czyli iloczyn przez macierz Kalmana.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems [dostęp 2018-01-31].