Funkcja Cobba-Douglasa

Funkcja Cobba-Douglasa to funkcyjne przedstawienie zależności produkcji od zasobów pracy i kapitału, często stosowane w ekonomii jako funkcja produkcji. Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928.

Oryginalnie sformułowana jako funkcja powyższych dwóch zmiennych:

$F(K,L)=aK^{\alpha }L^{\beta },K,L\geqslant 0$ $F(K,L)=aK^{\alpha }L^{\beta },K,L\geqslant 0$

gdzie $K$ $K$ oznacza nakład kapitału, a $L$ $L$ nakład pracy potrzebny do wytworzenia $Y=F(K,L)$ $Y=F(K,L)$ jednostek produktu, $a$ $a$ jest parametrem skalującym.

Funkcja zachowuje zasadę malejących przychodów – każda kolejna jednostka jednego z zasobów bez wzrostu zasobu drugiego skutkuje mniejszym przyrostem produkcji.

W klasycznej funkcji Cobba-Douglasa α + β = 1^[a] co skutkuje brakiem efektów skali (wzrost K i L o 100% spowoduje wzrost Y także o 100%). Założenie to jest postulatem części makroekonomistów, argumentujących, że z jednej strony w całej gospodarce nie ma niekorzyści skali, bo zakłady pracy można po prostu kopiować, z drugiej jednak strony istnieje wiele zakładów pracy, które osiągnęły już optymalną wielkość.

Zdjęcie ostatniego założenia daje funkcję typu Cobba-Douglasa. W przypadku α + β > 1 mamy korzyści skali, w odwrotnym przypadku są ujemne skutki skali.

W uogólnieniu funkcja Cobba-Douglasa - to funkcja wielu zmiennych wyrażająca się wzorem:

$F(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N})=a\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}$ $F(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N})=a\prod _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}$

określona dla $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N}\geqslant 0$ $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N}\geqslant 0$

Funkcja posiada następujące własności:

jest nieujemna,
jest rosnąca,

a gdy $\sum _{i=1}^{N}{\alpha _{i}}=1$ $\sum _{i=1}^{N}{\alpha _{i}}=1$
funkcja jest homogeniczna stopnia pierwszego, tj. $\forall z>0:F(zX_{1},zX_{2},\ldots ,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N})$ $\forall z>0:F(zX_{1},zX_{2},\ldots ,zX_{N})=zF(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{N})$

co daje stałe przychody względem skali produkcji.

Uwagi

↑ Nie jest to jednak warunek konieczny.
Jeśli $\scriptstyle \alpha +\beta \neq 1$ $\scriptstyle \alpha +\beta \neq 1$ wystarczy rozważyć funkcje

$f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}$ $f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}$

Funkcja $\scriptstyle f$ $\scriptstyle f$ jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz

$F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}$ $F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}$

Ponadto suma wykładników daje jedynkę:

${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1$ ${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1$

[1] Nie jest to jednak warunek konieczny.
Jeśli $\scriptstyle \alpha +\beta \neq 1$ $\scriptstyle \alpha +\beta \neq 1$ wystarczy rozważyć funkcje

$f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}$ $f(z)=z^{\frac {1}{\alpha +\beta }}$

Funkcja $\scriptstyle f$ $\scriptstyle f$ jest rosnąca, zatem po monotonicznej transformacji nie zmienią się preferencje oraz

$F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}$ $F_{1}(K,L)=f(F(K,L))=aK^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}L^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}$

Ponadto suma wykładników daje jedynkę:

${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1$ ${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}=1$

[a]

Funkcja Cobba-Douglasa

Uwagi

Menu nawigacyjne

Narzędzia osobiste

Przestrzenie nazw

Warianty

Widok

Więcej

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla wikipedystów

Narzędzia

Drukuj lub eksportuj

W innych językach