Funkcja antyholomorficzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja antyholomorficzna (także funkcja antyanalityczna) – funkcja mająca bliski związek z funkcją holomorficzną.

Definicja formalna[edytuj]

Funkcja zmiennej określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej nazywana jest antyholomorficzną, jeżeli w każdym punkcie swej dziedziny istnieje jej pochodna względem oznaczającego sprzężenie zespolone .

Własności[edytuj]

Można pokazać, że jeżeli jest funkcją holomorficzną na zbiorze otwartym , to jest antyholomorficzna na – zbiorze symetrycznym do względem osi lub, innymi słowy, zbiorze sprzężeń zespolonych elementów należących do . Co więcej, każda funkcja antyholomorficzna może być uzyskana w ten sposób z funkcji holomorficznej. Oznacza to, że funkcja jest antyholomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy może być rozwinięta w szereg potęgowy względem wokół każdego punktu swojej dziedziny.

Jeżeli funkcja jest zarazem holomorficzna i antyholomorficzna, to jest ona stała na każdej spójnej składowej swojej dziedziny. Funkcja, która zależy tak od jak i od nie jest ani holomorficzna, ani antyholomorficzna.