Zbiór otwarty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór otwarty w danej przestrzeni topologicznej – dowolny element rodziny .

Dopełnienie zbioru otwartego nazywa się jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń . Na prostej z topologią strzałki takimi zbiorami są przedziały postaci .

W klasie przestrzeni metrycznych zbiory otwarte można scharakteryzować jako te i tylko te, które wraz z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie.

W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje które zachowują otwartość poprzez obrazy nazywane są odwzorowaniami otwartymi.

Topologia zbiorów otwartych[edytuj]

Niech dany będzie zbiór . Rodzina złożona z podzbiorów zbioru nazywa się topologią (topologią zbiorów otwartych) na tym zbiorze, jeśli podzbiory te, nazwane zbiorami otwartymi, spełniają następujące warunki[1]:

  1. Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi (tj. należą do ).
  2. Suma mnogościowa skończona lub nieskończona zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).
  3. Część wspólna skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).

Uwaga 1ː Nieskończony iloczyn zbiorów otwartych może dać zbiór domknięty.

Np. na prostej rzeczywistej z topologią standardową jako zbiory otwarte przyjmuje się przedziały otwarte. Iloczyn nieskończony przedziałów otwartych może dać przedział domknięty, np. .

Z tego względu w punkcie 3. definicji topologii zakłada się skończoną część wspólną zbiorów, w odróżnieniu od punktu 2., gdzie suma zbiorów może być nawet nieprzeliczalna.

Uwaga 2ː W danym zbiorze można utworzyć wiele różnych topologii zbiorów otwartych.

Uwaga 3ː W zbiorze liczb rzeczywistych standardowo przyjmuje się topologię, w której zbiorami otwartymi są przedziały otwarte. Nie jest to jednak jedyna możliwa topologia, jaką można utworzyć na . Np. można wprowadzić topologię dyskretną, w której każdy pojedynczy punkt jest zbiorem otwartym (i jednoczenie domkniętym). Z drugiej strony, czy da się zbudować topologię zbiorów otwartych w oparciu o przedziały domknięte? (wydaje się, że punkty 1., 2. oraz 3. definicji byłyby spełnione dla przedziałów domkniętych).

Baza topologii zbiorów otwartych[edytuj]

Z każdym zbiorze da się znaleźć minimalną liczbę zbiorów otwartych, z których można utworzyć wszystkie pozostałe zbiory otwarte topologii. Zbiory te tworzą tzw. bazę topologii. Wybór bazy nie jest unikalny (tj. istnieje wiele możliwych baz).

Przykład

Każdy zbiór otwarty na płaszczyźnie można przedstawić jako sumą pewnych prostokątów otwartych o bokach równoległych do osi współrzędnych. Prostokąty takie tworzą bazę. Inną bazę tworzyć będą koła otwarte (tj. koła bez brzegu).

Twierdzenie o zbiorach otwartych[edytuj]

Zbiorami otwartymi topologii są takie zbiory , że dla każdego punktu da się znaleźć zbiór otwarty zawarty w .

Przykłady[edytuj]

Przykład zbioru domkniętego V na płaszczyźnie (nie jest to zbiór otwarty, bo dla punktów brzegu zbioru V nie istnieją zbiory otwarte całkowicie zawarte w V).

1) Na prostej jako standardową topologię przyjmuje się, iż zbiorami otwartymi są przedziały otwarte i ich dowolne sumy.

Np. przedział jest otwarty, gdyż dla każdego punktu istnieje przedział otwarty zawarty w ; np. możemy przyjąć równe połowie mniejszej z odległości danego punktu od brzegów przedziału, Z drugiej strony przedział nie jest zbiorem otwartym, bo dla punktów brzegowych każde ich otoczenie zawiera punkty spoza przedziału .
Każdy zbiór otwarty na prostej jest sumą pewnych przedziałów otwartych.

2) Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. prostokąt bez brzegu

,

zaś prostokąt

nie jest otwarty w , gdyż dla punktów brzegowych prostokąta nie da się znaleźć zbiorów otwartych w nim zawartych (prostokąt ten jest de facto domknięty, zaś jego dopełnienie jest zbiorem otwartym).

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.

Bibliografia[edytuj]

Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.