Zbiór otwarty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór otwarty w danej przestrzeni topologicznej (X,\tau) – dowolny element rodziny \tau. Z definicji, dopełnienie zbioru otwartego nazywane jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń X. Innym przykładem mogą być przedziały postaci [a,b) na prostej wyposażonej w topologię strzałki.

W klasie przestrzeni metrycznych zbiory otwarte można scharakteryzować jako te i tylko te, które wraz z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie.

W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje które zachowują otwartość poprzez obrazy nazywane są odwzorowaniami otwartymi.

Podstawowe zbiory otwarte[edytuj]

Z definicji przestrzeni topologicznej mamy, że zbiorami otwartymi są:

1. Zbiór pusty i cała przestrzeń.

2. Suma mnogościowa skończona lub nieskończona zbiorów otwartych.

3. Część wspólna skończonej liczby zbiorów otwartych.

Przykłady zbiorów otwartych w R i R2[edytuj]

Przykład zbioru domkniętego: dla tego zbioru punkty brzegowe nie mają otoczeń całkowicie zawartych w zbiorze.

Na prostej pojęcia zbiorów otwartych (i domkniętych) sprowadzają się do pojęcia przedziału otwartego (i domkniętego) na prostej. Zauważmy, że skończony iloczyn zbiorów otwartych da zawsze zbiór otwarty, ale nieskończony iloczyn zbiorów otwartych może dać zbiór domknięty, np.  \cap_{n=1}^\infty(-1/n,1/n)=\{0\}.

1) Na prostej zbiorem otwartym jest np. przedział (0,1), gdyż dla każdego punktu x\in(0,1) istnieje otoczenie (x-{\epsilon}, x+{\epsilon}) zawarte w tym przedziale; np. możemy przyjąć \epsilon równe połowie mniejszej z odległości danego punktu od brzegów przedziału, \epsilon=0,5\cdot\text{min} (1-x, x). Z drugiej strony przedział [0,1] nie jest zbiorem otwartym, bo dla punktów brzegowych  0, 1 każde ich otoczenie zawiera punkty spoza przedziału [0,1].

2) Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. kwadrat jednostkowy bez brzegu

(0,1)\times (0,1),

zaś kwadrat jednostkowy

[0,1]\times [0,1]

nie jest otwarty, gdyż dla punktów brzegowych nie da się znaleźć otoczeń zawartych w tym kwadracie (zbiór ten jest domknięty, bo jego dopełnienie jest zbiorem otwartym).

Bibliografia[edytuj]

Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.