Funkcja dodatnio określona

Funkcja dodatnio określona – jest to funkcja dwu zmiennych $K\colon X\times X\to \mathbb {C} ,$ działająca w ciało liczb zespolonych $\mathbb {C} ,$ spełniająca własność:

$\forall n\in \mathbb {N} \ \forall x_{1},x_{2},...,x_{n}\in X\ \forall a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {C}$

$\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}~a_{i}\cdot K(x_{i},x_{j})\cdot {\overline {a}}_{j}>0,$

gdzie ${\overline {a}}$ jest sprzężeniem liczby $a.$

Związek z iloczynem skalarnym

Twierdzenie Kołmogorowa:

Niech $K\colon X\times X\to \mathbb {C}$ będzie funkcją dodatnio określoną. Wtedy istnieje jedyne przekształcenie $a\colon X\to H,$ takie że:

• $H$ jest przestrzenią Hilberta,
• $\langle a(x)|a(y)\rangle =K(x,y),$ gdzie $\langle \cdot |\cdot \rangle$ jest iloczynem skalarnym w $H,$
• $\mathrm {span} \{a(x)\colon x\in X\}$ jest gęsty w $H.$