Przestrzeń Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Hilberta to przestrzeń

Każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, przestrzenią Frécheta oraz lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną - ze względu na unormowanie i zupełność.

Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku.

Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru[edytuj | edytuj kod]

(1) Należą tu np.

  1. zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym
  2. zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową);

Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź norm) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

(2) W szczególności należą tu przestrzenie współrzędnych i z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami

gdzie:

  • , - wektory przestrzeni
  • oznacza sprzężenie zespolone liczby .

Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem

zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem

przy czym jest ona zupełna.

Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych, natomiast przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej. Przestrzenie 2 oraz L2(μ) są fundamendalne dla mechaniki kwantowej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Samosprzężoność[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta H mówi, że każdemu elementowi fH* (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na H) odpowiada jednoznacznie taki element yfH, że

Odwzorowanie

dane wzorem

jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony f określony na przestrzeni unitarnej U można zapisać wzorem dla pewnego yfU, to U jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).

Refleksywność[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń Hilberta H jest refleksywna, tj. odwzorowanie

dane wzorem

jest „na”.

Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm

.

Niech x0** będzie ustalonym elementem przestrzeni H** . Wówczas funkcjonał f0 dany wzorem

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu x przestrzeni H oraz dowolnego fH* zachodzi:

a zatem

,

co oznacza, że odwzorowanie κ jest „na”, więc przestrzeń H jest refleksywna.

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność - są one superrefleksywne.

Ośrodkowość[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń ośrodkowa.

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:

Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią w szczególności

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. X jest przestrzenią Hilberta;
2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa M przestrzeni X ma własność najmniejszej odległości:
dla każdego xX istnieje taki element PM(x) ∈ M, że
przy czym PM oznacza rzut na podprzestrzeń M
3. X ma własność rozkładu ortogonalnego:
dla każdej domkniętej podprzestrzeni M przestrzeni X zachodzi
4. ma własność reprezentacji Riesza:
dowolny ciągły funkcjonał liniowy na X jest postaci dla pewnego yX.

Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:

to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym),
to twierdzenie o rzucie ortogonalnym,
to twierdzenie Riesza o reprezentacji;

równoważność jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie[1]. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.

Suma prosta przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

(1) Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą nazywa się przestrzeń Hilberta, która

  • jest sumę prostą przestrzeni
  • ma iloczyn skalarnym danym wzorem
gdzie:

tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta

(2) Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem

Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Uwaga:

Suma prosta przestrzeni Hilberta różni się od sumy prostej przestrzeni liniowych tym, że ma dodatkowo zdefiniowany iloczyn skalarny.

Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej, przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta indeksowanej elementami zbioru I sumą prostą

nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji na zbiorze taką że spełnione są warunki:

  • dla każdego
  • zbiór jest przeliczalny
  • .

wyposażoną w normę

gdzie

Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. O. N. Kosukhin. A geometric criterion for the Hilbert property of a Banach space. „Moscow University Mathematics Bulletin”. 63 (5), s. 205-207, 2008. Allerton Press, Inc.. DOI: 10.3103/S0027132208050070. ISSN 0027-1322 (ang.). 

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]