Przestrzeń Hilberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Hilberta – rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

Przykłady[edytuj]

Do najprostszych przykładów przestrzeni Hilberta można zaliczyć przestrzenie euklidesowe dowolnego skończonego wymiaru ze standardowym iloczynem skalarnym (w gruncie rzeczy: dowolną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową), w szczególności: zbiór liczb rzeczywistych ze standardowym mnożeniem. Innym przykładem może być zespolona przestrzeń euklidesowa, tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb zespolonych wymiaru z zespolonym iloczynem skalarnym, tzn. dodatnio określoną formą półtoraliniową. W tym wypadku wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z równoważności metryk (bądź równoważności norm) na przestrzeniach liniowych ustalonego wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Naturalnymi przykładami wspomnianych przestrzeni są przestrzenie współrzędnych i z formami danymi odpowiednio wzorami

gdzie oraz są wektorami danej przestrzeni, zaś oznacza sprzężenie zespolone liczby (dla liczby rzeczywistej zachodzi ). Norma indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem

zaś metryka od niej pochodząca wyraża się wzorem

przy czym jest ona zupełna.

Klasycznymi przykładami przestrzeni Hilberta są

Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych, natomiast przestrzenie Hardy'ego znajdują zastosowania w analizie harmonicznej i analizie zespolonej. Przestrzenie 2 oraz L2(μ) są fundamendalne dla mechaniki kwantowej.

Własności[edytuj]

Samosprzężoność[edytuj]

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta H mówi, że każdemu elementowi fH* (tj. każdemu ciągłemu funkcjonałowi liniowemu na H) odpowiada jednoznacznie taki element yfH, że

Odwzorowanie

dane wzorem

jest antyliniowym izometrycznym izomorfizmem. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony f określony na przestrzeni unitarnej U można zapisać wzorem dla pewnego yfU, to U jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna).

Refleksywność[edytuj]

Każda przestrzeń Hilberta H jest refleksywna, tj. odwzorowanie

dane wzorem

jest "na".

Dówod. Z twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta) wynika, że istnieje antyliniowy izometryczny izomorfizm

.

Niech x0** będzie ustalonym elementem przestrzeni H**. Wówczas funkcjonał f0 dany wzorem

jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu x przestrzeni H oraz dowolnego fH* zachodzi:

a zatem

,

co oznacza, że odwzorowanie κ jest "na", więc przestrzeń H jest refleksywna.

Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są jednostajnie wypukłymi przestrzeniami Banacha, a więc na mocy twierdzenia Clarsksona-Milmana są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z reguły równoległoboku, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność - są one superrefleksywne.

Ośrodkowość[edytuj]

 Zobacz też: przestrzeń ośrodkowa.

Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające przeliczalny podzbiór gęsty) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta:

  • Dowolna przestrzeń unormowana nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru jest liniowo izometryczna z pewną przestrzenią współrzędnych lub stąd można określić na nich strukturę unitarną (zob. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta.
  • Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do izomorfizmu) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia przekształcenia unitarnego między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią (mianowicie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia liniowego danego wzorem ; na mocy nierówności Bessela gdzie oznacza bazę ortonormalną).

Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o ciężarze jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią w szczególności

Charakteryzacja[edytuj]

Niech X będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne:

1. X jest przestrzenią Hilberta;
2. każda domknięta podprzestrzeń liniowa M przestrzeni X ma własność najmniejszej odległości:
dla każdego xX istnieje taki element PM(x) ∈ M, że
przy czym PM oznacza rzut na podprzestrzeń M
3. X ma własność rozkładu ortogonalnego:
dla każdej domkniętej podprzestrzeni M przestrzeni X zachodzi
4. ma własność reprezentacji Riesza:
dowolny ciągły funkcjonał liniowy na X jest postaci dla pewnego yX.

Poszczególne implikacje mają swoje nazwy:

to twierdzenie o najlepszej aproksymacji (o zbiorze wypukłym),
to twierdzenie o rzucie ortogonalnym,
to twierdzenie Riesza o reprezentacji;

równoważność jest treścią lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym.

Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości zbalansowanych zbiorów wypukłych i funkcjonałów liniowych oraz reguły równoległoboku charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród przestrzeni Banacha (por. twierdzenie Jordana-von Neumanna). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie[1]. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego.

Sumy proste[edytuj]

Do naturalnych konstrukcji przestrzeni Hilberta należy (ortogonalna) suma prosta przestrzeni Hilberta

,

tj. algebraiczna suma prosta przestrzeni Hilberta H1, H2 z iloczynem skalarnym danym wzorem

skąd

Pojęcie to można uogólnić na dowolną rodzinę przestrzeni Hilberta (por. Sumy proste przestrzeni Banacha).

Niech (Hi) iI będzie rodziną przestrzeni Hilberta indeksowaną elementami pewnego zbioru I. Symbolem

oznacza się przestrzeń Hilberta wszystkich funkcji f na zbiorze I spełniających warunki

  • f(i)Hi dla każdego i;
  • zbiór {iH: f(i) ≠ 0} jest przeliczalny
  • .

wyposażoną w normę

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. O. N. Kosukhin. A geometric criterion for the Hilbert property of a Banach space. „Moscow University Mathematics Bulletin”. 63 (5), s. 205-207, 2008. Allerton Press, Inc.. DOI: 10.3103/S0027132208050070. ISSN 0027-1322 (ang.).