Funkcje szybko malejące

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcję (lub ) nazywamy funkcją szybko malejącą w nieskończoności, jeśli spełnia dwa warunki[1]:

  1. Dla dowolnych wielowskaźników funkcja jest ograniczona na

Drugi warunek można zastąpić warunkiem następującym:

  • Dla dowolnego i dowolnego wielowskaźnika funkcja jest ograniczona na

Funkcje szybko malejące w nieskończoności tworzą przestrzeń wektorową, którą oznaczamy Jeśli są to funkcje o wartościach rzeczywistych, to jest to przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych a jeśli są to funkcje o wartościach zespolonych, to jest to przestrzeń wektorowa nad ciałem liczb zespolonych

W przestrzeni tej topologia jest określona przez zbieżność ciągu:

Ciąg jest zbieżny do zera, gdy:

  • Dla dowolnych wielowskaźników ciąg jest jednostajnie zbieżny do zera na

Warunek ten można zastąpić warunkiem następującym:

  • Dla dowolnego i dowolnego wielowskaźnika ciąg jest jednostajnie zbieżny do zera na

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Różniczkowanie jest odwzorowaniem ciągłym
  • Jeżeli to
  • Transformacja Fouriera jest izomorfizmem na siebie.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993, s. 59–61. ISBN 83-01-10864-9.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993. ISBN 83-01-10864-9.
  • Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. T. 1: Functional Analysis. New York, London: Academic Press, 1972.
  • А.Н. Колмогоров, С. В. Фомин: Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 1989. ISBN 5-02-013993-9.