Transformacja Fouriera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformacja Fouriera jest operatorem liniowym określanym na pewnych przestrzeniach funkcyjnych, elementami których są funkcje n zmiennych rzeczywistych. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera.

Definicje podstawowe[edytuj]

Transformatę Fouriera[1] można określić dla funkcji (gdzie jest przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na ) wzorem:

gdzie - jednostka urojona (), a jest iloczynem skalarnym wektorów . Transformacja Fouriera jest też oznaczana przez , wówczas transformata jest oznaczana przez .

Transformata jest funkcją istotnie ograniczoną: (wynika to z twierdzenia Riemanna-Lebesgue'a).

W przypadku gdy funkcja jest ponadto całkowalna z kwadratem (czyli ), transformata jest również całkowalna z kwadratem. Innymi słowy, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni:

Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni na siebie. W wielu praktycznych zastosowaniach w przypadku jednowymiarowym przedłużenie to jest równoważne obliczeniu wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:

Często przestrzeń ogranicza się do przestrzeni funkcji szybko malejących w nieskończoności - przestrzeni funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych, dla których iloczyn dowolnej pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na . Ograniczona w ten sposób transformacja Fouriera jest również izometrią przestrzeni na siebie.

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ  częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja może być zrekonstruowana z poprzez transformację odwrotną:

Alternatywne definicje[edytuj]

Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.

1. Transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) :

i transformacja odwrotna:

,

gdzie

- funkcja (oryginał) w dziedzinie czasu,

transformata (widmo Fouriera) w dziedzinie pulsacji,

- pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji .

2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu t w dziedzinę pulsacji (częstości kołowej) :

i transformacja odwrotna:

,

Uwagi[edytuj]

  • Czynnik przed transformacją i transformacją odwrotną występuje umownie - zamiast takiej postaci może występować czynnik przed transformacją prostą, albo (częściej) przed transformacją odwrotną
  • Jeżeli jednak czynnik wynosi , wtedy transformacja i transformacja odwrotna są izometriami przestrzeni
  • Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności.

Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a[edytuj]

 Osobny artykuł: Transformata Laplace’a.

W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem , zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja 's' (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem w granicach od do , gdzie jest liczbą zespoloną.

Wyrażenie ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty . Transformacja 's' uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji 's'. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla . Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Własności transformaty Fouriera[edytuj]

  • W przypadku jednowymiarowym funkcja f jest klasy , czyli jest całkowalna w przedziale .
  • jest funkcją ciągłą. Nie musi natomiast być całkowalna w .
  • Jeśli , to
  • Jeśli i , to
  • , gdzie operacja oznacza splot funkcji f i g
  • Jeśli pochodna funkcji f należy do i funkcja zeruje się poza pewnym przedziałem skończonym, to z całkowania przez części wynika, że :.

Właściwości transformat[edytuj]

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi

101 Liniowość
102 Przesunięcie oryginału w dziedzinie "czasu"
103 Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości , dualne względem 102
104 Dla dużych wartości , zawęża się wokół zera, a poszerza się i spłaszcza.
105
106 Transformata pochodnej
107 Ta właściwość jest dualna względem 106
108 Notacja oznacza splot funkcji i — tę właściwość określamy jako twierdzenie o splocie
109 Właściwość dualna względem 108
110 Dla funkcji rzeczywistej i parzystej , oraz funkcjami rzeczywistymi i parzystymi.
111 Dla funkcji rzeczywistej i nieparzystej , oraz funkcjami urojonymi i nieparzystymi.

Najbardziej przydatne pary transformat[edytuj]

W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak lub przestrzeń funkcji szybko malejących w nieskończoności transformacja Fouriera przyporządkowuje wzajemnie jednoznacznie funkcji (oryginałowi) jej transformatę. Oryginał i jego transformata określana są wtedy jako para fourierowska.

Funkcje całkowalne z kwadratem[edytuj]

W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2].

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi

201 Funkcja prostokątna i normalizowana funkcja sinc, definiowana jako sinc(x) = sin(πx)/(πx)
202 Relacja dualna do 201. funkcja prostokątna jest filtrem dolnoprzepustowym, a funkcja sinc jest odpowiedzią impulsową dla takiego filtra.
203 Funkcja jest funkcją trójkątną
204 Związek dualny względem 203.
205 H(x) jest funkcją skoku Heaviside'a, a>0.
206 Funkcja Gaussa exp(−αx2) jest funkcją własną przekształcenia Fouriera dla odpowiednio dobranego α. Funkcja jest całkowalna dla Re(α)>0.
207 Dla a>0.
208

 


 


 

Jn (x) oznacza funkcję Bessela n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Un (x) to wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju. (patrz punkty 315 i 316 poniżej).
209 Secans hiperboliczny jest funkcją własną transformcji Fouriera

Dystrybucje[edytuj]

Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej.

Funkcja Transformata Fouriera
unitarna, częstotliwość
Transformata Fouriera
unitarna, pulsacja (częstość kołowa)
Transformata Fouriera
pulsacja (częstość kołowa)
Uwagi

301 δ(ξ) oznacza deltę Diraca.
302 Co wynika z zasady 301.
303 Co wynika z własności 103 i 301.
304 Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera:
305 Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu
306
307
308 Gdzie, n jest liczbą naturalną a jest n-tą pochodną delty Diraca. Wynika to ze 107 i 301. Stosując tę formułę z 101 można transformować dowolne wielomiany .
309 Gdzie sgn(ξ) to funkcja znaku. Zauważmy, że 1/x nie jest dystrybucją. Własność przydatna w odniesieniu do transformaty Hilberta.
310 Uogólnienie 309.
311
312 Dualne do 309.
313 Funkcja H(x) jest funkcją Heaviside'a; to wynika ze 101, 301 i 312.
314 Funkcja grzebieniowa. Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że jako dystrybucje.
315 J0(x) funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316 Uogólnienie 315. Funkcja Jn(x) jest funkcją Bessela n-tego rzędu, pierwszego rodzaju. Funkcja Tn(x) jest wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju.

Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów[edytuj]

 Osobny artykuł: Transmitancja widmowa.

Zależność określającą transmitancję widmową można wyznaczyć

Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie , pulsacji i fazie

,

(gdzie j oznacza jednostkę urojoną), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie i fazie :

.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość pozostała taka sama, jedynie amplituda i faza sygnału uległy zmianie w układzie. Transmitancja opisuje charakter tych zmian w całym spektrum częstotliwości (tj. dla każdej częstotliwości ). Moduł transmitancji opisuje wzmocnienie układu:

,

a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:

.

Transmitancja

Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie

definiuje dyskretną transmitancję widmową.

Zobacz też[edytuj]


Przypisy

  1. Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe. PWN, 1993, s. 56-60. ISBN 83-01-10864-9.
  2. Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall, ISBN 0-13-578782-3

Linki zewnętrzne[edytuj]