Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera Transformacja Fouriera – pewien operator liniowy określany na pewnych przestrzeniach funkcyjnych , elementami których mogą być funkcje
n
{\displaystyle n}
bazie ortonormalnej funkcji trygonometrycznych – za pomocą iloczynu skalarnego funkcji. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera . Wynikiem transformacji Fouriera jest funkcja nazywana transformatą Fouriera .
Transformatę Fouriera[1]
f
∈
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
przestrzenią wektorową funkcji całkowalnych na
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
^
(
ξ
)
=
∫
R
n
f
(
x
)
e
−
2
π
i
(
x
,
ξ
)
d
x
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\ e^{-2\pi i(x,\xi )}\,dx,}
gdzie
i
{\displaystyle i}
jednostka urojona
(
i
2
=
−
1
)
,
{\displaystyle (i^{2}=-1),}
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle (x,\xi )}
iloczynem skalarnym wektorów
x
,
ξ
∈
R
n
.
{\displaystyle x,\xi \in \mathbb {R} ^{n}.}
F
,
{\displaystyle {\mathcal {F}},}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
F
[
f
(
x
)
]
(
ξ
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left[f(x)\right](\xi ).}
Transformata
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
istotnie ograniczoną :
f
^
∈
L
∞
(
R
n
)
{\displaystyle {\hat {f}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}
twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a ).
W przypadku gdy funkcja
f
{\displaystyle f}
f
∈
L
1
(
R
n
)
∩
L
2
(
R
n
)
{\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
F
:
L
1
(
R
n
)
∩
L
2
(
R
n
)
→
L
2
(
R
n
)
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).}
Twierdzenie Plancherela wówczas mówi, że odwzorowanie to przedłuża się do izometrii przestrzeni
L
2
(
R
n
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej:
f
^
(
ξ
)
=
lim
T
→
+
∞
∫
−
T
T
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}
Często przestrzeń
L
1
(
R
n
)
{\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
pochodnej cząstkowej i dowolnego wielomianu jest funkcją ograniczoną na
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
S
(
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}
W praktyce, często zmienna
x
{\displaystyle x}
czas (w sekundach ), a argument transformaty
ξ
{\displaystyle \xi }
częstotliwość (w Hz =1/s). Funkcja
f
∈
L
2
(
R
1
)
{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{1})}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
transformację odwrotną :
f
(
x
)
=
lim
T
→
+
∞
∫
−
T
T
f
^
(
ξ
)
e
2
π
i
x
ξ
d
ξ
.
{\displaystyle f(x)=\lim _{T\to +\infty }\int \limits _{-T}^{T}{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .}
Stosowane są także inne definicje transformacji Fouriera.
1. Transformacja z dziedziny czasu
t
{\displaystyle t}
ω
:
{\displaystyle \omega {:}}
f
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}
i transformacja odwrotna:
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
e
i
ω
t
d
ω
,
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega ,}
gdzie:
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
^
(
ω
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )}
ω
=
2
π
T
=
2
π
ν
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}={2\pi }\nu }
pulsacją proporcjonalną do częstotliwości oscylacji
ν
.
{\displaystyle \nu .}
2. Unitarna transformacja z dziedziny czasu
t
{\displaystyle t}
ω
:
{\displaystyle \omega {:}}
f
^
(
ω
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}
i transformacja odwrotna:
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
^
(
ω
)
e
i
ω
t
d
ω
.
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega t}d\omega .}
Czynnik
1
2
π
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
1
2
π
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}
Jeżeli jednak czynnik wynosi
1
2
π
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},}
L
2
(
R
)
.
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}
Pierwsza z dwu powyższych definicji jest popularniejsza, nie posiada jednak własności unitarności . Interpretacja i związek z transformatą Laplace’a [ edytuj | edytuj kod ] W analizie Fouriera, krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
szereg Fouriera ) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału ).
Podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze wykonuje transformacja ‘s’ (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a ). Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażaniem
e
−
s
t
{\displaystyle e^{-st}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
∞
,
{\displaystyle \infty ,}
s
{\displaystyle s}
liczbą zespoloną .
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}
Wyrażenie
e
−
s
t
{\displaystyle e^{-st}}
e
−
t
.
{\displaystyle e^{-t}.}
przebiegi częstotliwościowe , ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji ‘s’. Transformata Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla
s
=
i
ω
.
{\displaystyle s=i\omega .}
transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera .
Własności transformaty Fouriera [ edytuj | edytuj kod ] W przypadku jednowymiarowym funkcja
f
{\displaystyle f}
L
1
,
{\displaystyle L^{1},}
(
−
∞
,
∞
)
.
{\displaystyle (-\infty ,\infty ).}
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
funkcją ciągłą . Nie musi natomiast być całkowalna w
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Jeśli
g
(
x
)
=
f
(
x
−
α
)
,
{\displaystyle g(x)=f(x-\alpha ),}
g
^
(
ξ
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
−
α
)
e
−
2
π
i
(
x
−
α
)
ξ
e
−
2
π
i
α
ξ
d
x
=
e
−
2
π
i
α
ξ
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π
i
t
ξ
d
t
=
e
−
2
π
i
α
ξ
f
^
(
ξ
)
.
{\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\alpha )\ e^{-2\pi i(x-\alpha )\xi }e^{-2\pi i\alpha \xi }\,dx=e^{-2\pi i\alpha \xi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it\xi }\,dt=e^{-2\pi i\alpha \xi }{\hat {f}}(\xi ).}
Jeśli
α
≠
0
{\displaystyle \alpha \neq 0}
g
(
t
)
=
f
(
t
α
)
,
{\displaystyle g(t)=f\left({\frac {t}{\alpha }}\right),}
g
^
(
ξ
)
=
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
α
)
e
−
2
π
i
x
α
(
α
ξ
)
α
d
(
x
α
)
=
α
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π
i
t
(
α
ξ
)
d
t
=
α
f
^
(
α
ξ
)
.
{\displaystyle {\hat {g}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)\ e^{-2\pi i{\frac {x}{\alpha }}(\alpha \xi )}\alpha \,d\left({\frac {x}{\alpha }}\right)=\alpha \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-2\pi it(\alpha \xi )}\,dt=\alpha {\hat {f}}(\alpha \xi ).}
f
∗
g
^
=
2
π
f
^
g
^
,
{\displaystyle {\widehat {f*g}}={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}{\hat {g}},}
∗
{\displaystyle *}
splot funkcji f i gJeśli pochodna funkcji
f
{\displaystyle f}
L
1
{\displaystyle L^{1}}
całkowania przez części wynika, że:
f
′
^
(
ξ
)
=
∫
−
∞
∞
f
′
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
=
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
|
−
∞
∞
+
2
π
i
ξ
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
=
2
π
i
ξ
f
^
(
ξ
)
.
{\displaystyle {\hat {f'}}(\xi )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=f(x)e^{-2\pi ix\xi }{\Big |}_{-\infty }^{\infty }+2\pi i\xi \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).}
Funkcja
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera
Uwagi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
^
(
ξ
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f
^
(
ω
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=}
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω
x
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}
f
^
(
ν
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ν
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
101
a
⋅
f
(
x
)
+
b
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)}
a
⋅
f
^
(
ξ
)
+
b
⋅
g
^
(
ξ
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )}
a
⋅
f
^
(
ω
)
+
b
⋅
g
^
(
ω
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )}
a
⋅
f
^
(
ν
)
+
b
⋅
g
^
(
ν
)
{\displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )}
Liniowość
102
f
(
x
−
a
)
{\displaystyle f(x-a)}
e
−
2
π
i
a
ξ
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )}
e
−
i
a
ω
f
^
(
ω
)
{\displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )}
e
−
i
a
ν
f
^
(
ν
)
{\displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )}
Przesunięcie oryginału w dziedzinie „czasu”
103
e
2
π
i
a
x
f
(
x
)
{\displaystyle e^{2\pi iax}f(x)}
f
^
(
ξ
−
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)}
f
^
(
ω
−
2
π
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)}
f
^
(
ν
−
2
π
a
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)}
Przesunięcie widma w dziedzinie częstotliwości, dualne względem 102
104
f
(
a
x
)
{\displaystyle f(ax)}
1
|
a
|
f
^
(
ξ
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)}
1
|
a
|
f
^
(
ω
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
1
|
a
|
f
^
(
ν
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)}
Dla dużych wartości
|
a
|
,
{\displaystyle |a|,}
f
(
a
x
)
{\displaystyle f(ax)}
1
|
a
|
f
^
(
ω
a
)
{\displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}
105
106
d
n
f
(
x
)
d
x
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}}
(
2
π
i
ξ
)
n
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )}
(
i
ω
)
n
f
^
(
ω
)
{\displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )}
(
i
ν
)
n
f
^
(
ν
)
{\displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )}
Transformata pochodnej
107
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle x^{n}f(x)}
(
i
2
π
)
n
d
n
f
^
(
ξ
)
d
ξ
n
{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}}
i
n
d
n
f
^
(
ω
)
d
ω
n
{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}
i
n
d
n
f
^
(
ν
)
d
ν
n
{\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}}
Ta właściwość jest dualna względem 106
108
(
f
∗
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f*g)(x)}
f
^
(
ξ
)
g
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )}
2
π
f
^
(
ω
)
g
^
(
ω
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )}
f
^
(
ν
)
g
^
(
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )}
Notacja
f
∗
g
{\displaystyle f*g}
splot funkcji
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
twierdzenie o splocie
109
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ξ
)
{\displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )}
(
f
^
∗
g
^
)
(
ω
)
2
π
{\displaystyle {\frac {({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}}
1
2
π
(
f
^
∗
g
^
)
(
ν
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )}
Właściwość dualna względem 108
110
Dla funkcji
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
parzystej
f
^
(
ω
)
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
f
^
(
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )}
funkcjami rzeczywistymi i parzystymi .
111
Dla funkcji
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
nieparzystej
f
^
(
ω
)
,
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega ),}
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}
f
^
(
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )}
funkcjami urojonymi i nieparzystymi .
Najprzydatniejsze pary transformat [ edytuj | edytuj kod ] W przestrzeniach funkcji dobrze określonych, takich jak
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
S
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}
Funkcje całkowalne z kwadratem [ edytuj | edytuj kod ] W tabeli zestawiony jest oryginał oraz jego transformaty w dziedzinie częstotliwości i pulsacji[2]
Dystrybucje, określane też jako funkcje uogólnione nie posiadają transformat w sensie określonym przez powyższe definicje. Możliwe jest jednak uogólnienie pojęcia transformaty i przyjęcie, że uzyskujemy w wyniku przejścia do granicy ciągu transformat lub wychodząc od szeregu Fouriera funkcji okresowej .
Funkcja
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera
Uwagi
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
^
(
ξ
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ξ
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
f
^
(
ω
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=}
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ω
x
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}
f
^
(
ν
)
=
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=}
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
i
ν
x
d
x
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}
301
1
{\displaystyle 1}
δ
(
ξ
)
{\displaystyle \delta (\xi )}
2
π
⋅
δ
(
ω
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )}
2
π
δ
(
ν
)
{\displaystyle 2\pi \delta (\nu )}
δ
(
ξ
)
{\displaystyle \delta (\xi )}
deltę Diraca .
302
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
1
{\displaystyle 1}
1
2
π
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
1
{\displaystyle 1}
Co wynika z zasady 301.
303
e
i
a
x
{\displaystyle e^{iax}}
δ
(
ξ
−
a
2
π
)
{\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}
2
π
⋅
δ
(
ω
−
a
)
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)}
2
π
δ
(
ν
−
a
)
{\displaystyle 2\pi \delta (\nu -a)}
Co wynika z własności 103 i 301.
304
cos
(
a
x
)
{\displaystyle \cos(ax)}
δ
(
ξ
−
a
2
π
)
+
δ
(
ξ
+
a
2
π
)
2
{\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}}
2
π
⋅
δ
(
ω
−
a
)
+
δ
(
ω
+
a
)
2
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}}
π
(
δ
(
ν
−
a
)
+
δ
(
ν
+
a
)
)
{\displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)}
Co wynika ze 101 i 303 przy zastosowaniu wzoru Eulera :
cos
(
a
x
)
=
(
e
i
a
x
+
e
−
i
a
x
)
/
2.
{\displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.}
305
sin
(
a
x
)
{\displaystyle \sin(ax)}
δ
(
ξ
+
a
2
π
)
−
δ
(
ξ
−
a
2
π
)
2
i
{\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}}
2
π
⋅
δ
(
ω
+
a
)
−
δ
(
ω
−
a
)
2
i
{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2i}}}
−
i
π
(
δ
(
ν
+
a
)
−
δ
(
ν
−
a
)
)
{\displaystyle -i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)}
Co wynika ze 101 i 303, przy zastosowaniu
sin
(
a
x
)
=
(
e
i
a
x
−
e
−
i
a
x
)
/
(
2
i
)
.
{\displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).}
306
cos
(
a
x
2
)
{\displaystyle \cos(ax^{2})}
π
a
cos
(
π
2
ξ
2
a
−
π
4
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
1
2
a
cos
(
ω
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
π
a
cos
(
ν
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
307
sin
(
a
x
2
)
{\displaystyle \sin(ax^{2})}
−
π
a
sin
(
π
2
ξ
2
a
−
π
4
)
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
−
1
2
a
sin
(
ω
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
−
π
a
sin
(
ν
2
4
a
−
π
4
)
{\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}
308
x
n
{\displaystyle x^{n}}
(
i
2
π
)
n
δ
(
n
)
(
ξ
)
{\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )}
i
n
2
π
δ
(
n
)
(
ω
)
{\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )}
2
π
i
n
δ
(
n
)
(
ν
)
{\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )}
Gdzie
n
{\displaystyle n}
liczbą naturalną a
δ
(
n
)
(
ξ
)
{\displaystyle \delta ^{(n)}(\xi )}
n
{\displaystyle n}
wielomiany .
309
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{x}}}
−
i
π
sgn
(
ξ
)
{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )}
−
i
π
2
sgn
(
ω
)
{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )}
−
i
π
sgn
(
ν
)
{\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )}
Gdzie
sgn
(
ξ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\xi )}
funkcja znaku . Zauważmy, że
1
/
x
{\displaystyle 1/x}
310
1
x
n
{\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}}
−
i
π
(
−
2
π
i
ξ
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ξ
)
{\displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )}
−
i
π
2
⋅
(
−
i
ω
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ω
)
{\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )}
−
i
π
(
−
i
ν
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
sgn
(
ν
)
{\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )}
Uogólnienie 309.
311
1
|
x
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}}
1
|
ξ
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}}
1
|
ω
|
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}
2
π
|
ν
|
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}}
312
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
1
i
π
ξ
{\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}}
2
π
⋅
1
i
ω
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}}
2
i
ν
{\displaystyle {\frac {2}{i\nu }}}
Dualne do 309.
313
H
(
x
)
{\displaystyle H(x)}
1
2
(
1
i
π
ξ
+
δ
(
ξ
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)}
π
2
(
1
i
π
ω
+
δ
(
ω
)
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)}
π
(
1
i
π
ν
+
δ
(
ν
)
)
{\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)}
Funkcja
H
(
x
)
{\displaystyle H(x)}
314
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}
1
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ξ
−
k
T
)
{\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)}
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ω
−
2
π
k
T
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
2
π
T
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
ν
−
2
π
k
T
)
{\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)}
Funkcja grzebieniowa . Do wyznaczenia z 302 i 102, wraz z faktem, że
∑
n
=
−
∞
∞
e
i
n
x
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
x
+
2
π
k
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)}
315
J
0
(
x
)
{\displaystyle J_{0}(x)}
2
rect
(
π
ξ
)
1
−
4
π
2
ξ
2
{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
2
π
⋅
rect
(
ω
2
)
1
−
ω
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
2
rect
(
ν
2
)
1
−
ν
2
{\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}}
J
0
(
x
)
{\displaystyle J_{0}(x)}
funkcją Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zerowego.
316
J
n
(
x
)
{\displaystyle J_{n}(x)}
2
(
−
i
)
n
T
n
(
2
π
ξ
)
rect
(
π
ξ
)
1
−
4
π
2
ξ
2
{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}}
2
π
(
−
i
)
n
T
n
(
ω
)
rect
(
ω
2
)
1
−
ω
2
{\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}
2
(
−
i
)
n
T
n
(
ν
)
rect
(
ν
2
)
1
−
ν
2
{\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}}
Uogólnienie 315. Funkcja
J
n
(
x
)
{\displaystyle J_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
Zastosowanie dla potrzeb przetwarzania sygnałów [ edytuj | edytuj kod ] Zależność określającą transmitancję widmową
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
Pojedyncza zespolona składowa harmoniczna o amplitudzie
A
w
e
,
{\displaystyle A_{we},}
pulsacji
ω
{\displaystyle \omega }
p
w
e
{\displaystyle p_{we}}
x
(
t
)
=
A
w
e
e
j
(
ω
t
+
p
w
e
)
,
{\displaystyle x(t)=A_{we}e^{j(\omega t+p_{we})},}
(gdzie
j
{\displaystyle j}
jednostkę urojoną ), generuje odpowiedź na wyjściu układu w postaci sygnału sinusoidalnego o amplitudzie
A
w
y
{\displaystyle A_{wy}}
fazie
p
w
y
:
{\displaystyle p_{wy}{:}}
y
(
t
)
=
A
w
y
e
j
(
ω
t
+
p
w
y
)
.
{\displaystyle y(t)=A_{wy}e^{j(\omega t+p_{wy})}.}
Warto zwrócić uwagę na fakt, że częstotliwość
ω
{\displaystyle \omega }
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
ω
{\displaystyle \omega }
A
w
y
A
w
e
=
|
H
(
j
ω
)
|
,
{\displaystyle {\frac {A_{wy}}{A_{we}}}=|H(j\omega )|,}
a argument tej transmitancji opisuje przesunięcie fazowe wprowadzane przez układ:
p
w
y
−
p
w
e
=
arg
(
H
(
j
ω
)
)
.
{\displaystyle p_{wy}-p_{we}=\arg(H(j\omega )).}
Transmitancja
H
(
j
ω
)
{\displaystyle H(j\omega )}
Dla przypadku układów dyskretnych wyrażenie
y
(
i
)
u
(
i
)
=
z
−
k
B
(
z
−
1
)
A
(
z
−
1
)
|
z
=
e
j
ω
T
p
=
K
(
e
−
j
ω
T
p
)
{\displaystyle {\frac {y(i)}{u(i)}}=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}|_{z=e^{j\omega T_{p}}}=K(e^{-j\omega T_{p}})}
definiuje dyskretną transmitancję widmową .
↑ Hanna Marcinkowska: Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe . PWN, 1993, s. 56–60. ISBN 83-01-10864-9 . ↑ David W. D.W. Kammler David W. D.W. , A First Course in Fourier Analysis , Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, ISBN 0-13-578782-3 , OCLC 43118245 .brak strony (książka) Polskojęzyczne Anglojęzyczne Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Fourier Transform MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang. ) .Interaktywne wprowadzenie do transformacji Fouriera [Angielski z animacjami]But what is the Fourier Transform? A visual introduction , kanał 3blue1brown , YouTube , 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].F is for Fourier Transform (ang. ) , Oxford University Mathematical Institute , maths.ox.ac.uk, 19 sierpnia 2022 [dostęp 2023-05-29].transformacje całkowe
inne transformacje
w rachunku prawdopodobieństwa
.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf79bacae461484b437e6fafef2c1863bf844fa)
Grant Sanderson, But what is the Fourier Transform? A visual introduction, kanał 3blue1brown, YouTube, 26 stycznia 2018 [dostęp 2021-03-15].