Notacja wielowskaźnikowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Notacja wielowskaźnikowanotacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa[edytuj]

Wielowskaźnik -wymiarowy to wektor

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników oraz określa się:

  • sumę i różnicę po współrzędnych
  • porządek częściowy
  • sumę współrzędnych (wartość bezwzględną)
  • silnię
  • symbol Newtona
  • potęgę
  • pochodną cząstkową wyższych rzędów
    , gdzie

Niektóre zastosowania[edytuj]

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie[edytuj]

Wzór Leibniza[edytuj]

Dla funkcji gładkich i

.

Szereg Taylora[edytuj]

Dla funkcji analitycznej o zmiennych jest

.

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

,

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy'ego (z resztą całkową) otrzymuje się

.

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci[edytuj]

Operator różniczki cząstkowej -tego rzędu zmiennych zapisuje się formalnie jako

.

Całkowanie przez części[edytuj]

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie jest

.

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie[edytuj]

Jeżeli są wielowskaźnikami, a , to

Dowód[edytuj]

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli , wtedy

Załóżmy, że , , . Wtedy

Dla każdego , funkcja zależy wyłącznie od . Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego . Stąd z równania (1) wynika, że znika, jeśli dla przynajmniej jednego . W przeciwnym wypadku, tzn. gdy jako wielowskaźniki, wtedy

dla każdego , skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia[edytuj]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9