Notacja wielowskaźnikowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Notacja wielowskaźnikowanotacja matematyczna upraszczająca wzory analizy wielu zmiennych, równań różniczkowych cząstkowych oraz teorii dystrybucji przez uogólnienie pojęcia wskaźnika (indeksu) całkowitego do wektora wskaźników.

Notacja wielowskaźnikowa[edytuj | edytuj kod]

Wielowskaźnik -wymiarowy to wektor

nieujemnych liczb całkowitych. Dla wielowskaźników oraz określa się:

  • sumę i różnicę (po współrzędnych),
  • porządek częściowy,
  • sumę współrzędnych (wartość bezwzględną),
  • silnię,
  • symbol Newtona,
  • potęgę,
  • pochodną cząstkową wyższych rzędów,
    gdzie

Niektóre zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Notacja wielowskaźnikowa umożliwia rozszerzenie wielu wzorów analizy elementarnej do odpowiadających im przypadków w analizie wielu zmiennych. Oto niektóre przykłady:

Twierdzenie o wielomianie[edytuj | edytuj kod]

Wzór Leibniza[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji gładkich i

Szereg Taylora[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji analitycznej o zmiennych jest

Rzeczywiście, dla wystarczająco gładkiej funkcji istnieje podobne rozwinięcie Taylora

gdzie ostatni wyraz (reszta) zależy od konkretnej wersji wzoru Taylora. Na przykład dla wzoru Cauchy’ego (z resztą całkową) otrzymuje się

Operator różniczki cząstkowej ogólnej postaci[edytuj | edytuj kod]

Operator różniczki cząstkowej -tego rzędu zmiennych zapisuje się formalnie jako

Całkowanie przez części[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji gładkich o zwartym nośniku w ograniczonej dziedzinie jest

Wzór ten jest wykorzystywany przy definiowaniu dystrybucji i słabych pochodnych.

Przykładowe twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli są wielowskaźnikami, a to

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dowód wynika z reguły potęgi dla zwykłej pochodnej; jeżeli wtedy

Załóżmy, że Wtedy

Dla każdego funkcja zależy wyłącznie od Dlatego w powyższym wzorze każde różniczkowanie cząstkowe redukuje się do odpowiedniego różniczkowania zwykłego Stąd z równania (1) wynika, że znika, jeśli dla przynajmniej jednego W przeciwnym wypadku, tzn. gdy jako wielowskaźniki, wtedy

dla każdego skąd wynika twierdzenie.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Rozdział 1.1. CRC Press. ​ISBN 0-8493-7158-9​.