Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Homologie trwałe – rozszerzenie teorii homologii symplicjalnych będące jednym z głównych narzędzi topologicznej analizy danych [1]
Jeżeli
∅
=
K
0
⊆
K
1
⊆
⋯
⊆
K
n
=
K
{\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}
jest ciągiem kompleksów symplicjalnych , to włożenia
K
i
↪
K
j
{\displaystyle K_{i}\hookrightarrow K_{j}}
homomorfizmy
f
p
i
,
j
:
H
p
(
K
i
)
→
H
p
(
K
j
)
{\displaystyle f_{p}^{i,j}:H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})}
grup homologii symplicjalnych dla każdego wymiaru
p
.
{\displaystyle p.}
p
{\displaystyle p}
tymi grupami homologii trwałych
H
p
i
,
j
{\displaystyle H_{p}^{i,j}}
obrazy homomorfizmów
f
p
i
,
j
,
{\displaystyle f_{p}^{i,j},}
H
p
i
,
j
=
im
f
p
i
,
j
{\displaystyle H_{p}^{i,j}={\textrm {im}}f_{p}^{i,j}}
1
⩽
i
⩽
j
⩽
n
.
{\displaystyle 1\leqslant i\leqslant j\leqslant n.}
grupa
H
p
i
,
i
{\displaystyle H_{p}^{i,i}}
H
p
(
K
i
)
{\displaystyle H_{p}(K_{i})}
[1] [2]
Precyzyjniej,
H
p
i
,
j
=
Z
p
(
K
i
)
/
(
B
p
(
K
j
)
∩
Z
p
(
K
i
)
)
,
{\displaystyle H_{p}^{i,j}=Z_{p}(K_{i})/\left(B_{p}(K_{j})\cap Z_{p}(K_{i})\right),}
Z
p
(
K
i
)
{\displaystyle Z_{p}(K_{i})}
B
p
(
K
j
)
{\displaystyle B_{p}(K_{j})}
[1] [2]
↑ a b c H. Edelsbrunner, J. Harer: Computational topology. An introduction . American Mathematical Society, 2010, s. 149–153. ISBN 978-0-8218-4925-5 .(ang. ) . ↑ a b H. H. Edelsbrunner H. H. , D. D. Morozov D. D. , Persistent homology: theory and practice , „Contemp. Math.”, 453, 2013, s. 257–282 . 
