Homomorfizm grup

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homomorfizm grupfunkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebr[1][2].

Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupę należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorze[3]. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupy[4] pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).

Definicja[edytuj]

W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej.

Niech będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropki[5]. Przekształcenie nazywa się homomorfizmem grupy w grupę jeżeli dla każdego zachodzi

Działanie homomorfizmu na elemencie zwyczajowo zapisywane lub po prostu bywa w niektórych monografiach odwracane: można również spotkać się z oznaczeniem Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się lub przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. zamiast [6].

Własności[edytuj]

Homomorfizmy[edytuj]

Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech wtedy zachodzą następujące własności:

  • zachowywanie elementu neutralnego[7],
  • zachowywanie elementu odwrotnego[8]

Homomorfizmy zachowują również potęgę elementu[9][10][11],

jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielność[12] (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange'a)

Inne morfizmy[edytuj]

Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm dla którego istnieje homomorfizm odwrotny czyli spełniający tożsamość gdzie jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupy[13], nazywa się izomorfizmem. Grupy dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grup[14]

Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm odwrotny do izomorfizmu również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy

Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.

Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.

Jądro i obraz[edytuj]

 Zobacz też: jądroobraz oraz przeciwobraz.

W algebrze jądro i obraz homomorfizmu definiuje się odpowiednio jako zbiory

oraz

gdzie i oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu Obraz jest podgrupą w a jądro jest podgrupą normalną[15] w odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).

Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm który ma trywialne jądro, z kolei epimorfizm to homomorfizm którego obraz jest całą przeciwdziedziną, Izomorfizm definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).

Faktoryzacja[edytuj]

Podgrupa normalna wyznacza jednoznacznie podział na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową grupy przez przekształcenie rzutowe grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).

Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm spełniający z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między a Grupę nazywa się niekiedy koobrazem z kolei jeżeli jest podgrupą normalną w to nazywa się kojądrem

Działania[edytuj]

Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń Dla dwóch przekształceń można określić punktowo działanie ich dodawania wzorem[16]

dla wszystkich które jest łączne (własność odziedziczona z grupy ). Homomorfizm zerowy (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego istnieje element przeciwny dany wzorem[17] [18]. Innymi słowy tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli jest przemienna[19].

Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy w siebie, wówczas oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje czyli przekształcenia odwracalne należące do Dodawanie przekształceń w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli to

jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. Strukturę określoną na zbiór z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych będącą podzbiorem oznacza się symbolem z kolei zbiór endomorfizmów grupy oznacza się Ponieważ dla ich złożenie to jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) mimo wszystko nie musi należeć do jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element jest przemienny z dowolnym elementem [20], co więcej [21].

Jeśli zaś to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składania[22],

Gdy jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli to z powyższego wynika, że jest abelowa.

Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli oraz i są homomorfizmami grup abelowych to oraz Wynika stąd, że kategoria wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywną[23]; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to jest kategorią abelową[24]; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.

Niezmienniczość[edytuj]

Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w nazywa się grupą automorfizmów grupy [25]. Przekształcenie grupy w grupę jej automorfizmów dane wzorem gdzie automorfizm jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. dla dowolnego jest homomorfizmem grup, ponieważ[26]

Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór

wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum grupy obrazem jest z kolei

czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych automorfizmy te tworzą podgrupę w która jest normalna (zob. lemat Goursata) – grupę ilorazową nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo, że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.

Podgrupę grupy nazywa się w pełni niezmienniczą, jeżeli jest podgrupą w dla dowolnego jeżeli spełnia ten sam warunek dla dowolnego to nazywa się ją charakterystyczną[27], jeśli dla zachodzi to jest ona normalna[28]. Wynika stąd, że każda podgrupa w pełni niezmiennicza jest charakterystyczna, a każda podgrupa charakterystyczna jest normalna (zatem podgrupa w pełni niezmiennicza jest normalna). Wiele z powyższych koncepcji można zunifikować do ogólniejszego pojęcia grupy z operatorami (uogólnia ono również pojęcie modułu).

Przykłady[edytuj]

Homomorfizm dany wzorem dla dowolnego nazywa się homomorfizmem trywialnym lub zerowym, gdyż jego obrazem jest podgrupa trywialna w odwzorowanie to jest monomorfizmem wyłącznie wtedy, gdy jest grupą trywialną. Jest to zarazem przykład na to, iż rząd obrazu elementu nie musi być równy rzędowi elementu (nie może być z większy, co wynika z zachowania potęgowania): dowolny element rzędu większego niż jest przekształcany przez na element rzędu Homomorfizm zdefiniowany jako dla każdego jest endomorfizmem, a nawet automorfizmem grupy który nazywany jest identycznościowym lub tożsamościowym („identycznością” lub „tożsamością”; ponieważ jest on elementem neutralnym grupy automorfizmów nazywa się go niekiedy automorfizmem trywialnym). W każdej grupie rzędu większego niż istnieje różny od automorfizm: jeśli jest przemienna (abelowa), to jest nim dla [29], w grupie nieprzemiennej można wybrać element należący do jej centrum, dla którego automorfizm wewnętrzny jest nietrywialny.

Niech będzie grupą różnych od zera liczb rzeczywistych z działaniem grupowym mnożenia, odwracaniem liczb i jedynką jako elementem neutralnym. Odwzorowanie wartości bezwzględnej przypisujące jest endomorfizmem, którego obraz jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. Przekształcenie również jest endomorfizmem tej grupy o tym samym obrazie. Jądrem obu homomorfizmów jest podgrupa (izomorficzna z z działaniem dodawania modulo braniem liczby przeciwnej oraz zerem jako elementem neutralnym).

Funkcja wykładnicza jest homomorfizmem grup addytywnej i multiplikatywnej ciała liczb rzeczywistych, gdyż którego jądrem jest zbiór a obrazem jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych ( jest monomorfizmem, ale nie epimorfizmem; izomorfizmem jest określony tym samym wzorem homomorfizm w grupę multiplikatywną dodatnich liczb rzeczywistych). Podobnie funkcja dana wzorem jest homomorfizmem grupy addytywnej liczb na prostej rzeczywistej z dodawaniem w multiplikatywną grupę liczb z okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z mnożeniem (zob. grupa okręgu)[30], którego jądrem są liczby całkowite (zatem nie jest on monomorfizmem, tzn. różnowartościowy), z kolei jest epimorfizmem (czyli „na”). Homomorfizmy grupy przemiennej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterami grupy.

Grupa automorfizmów grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzna z grupą permutacji zbioru trójelementowego, Grupa jest jedyną grupą rzędu większego niż dla której składa się ze wszystkich bijekcji zachowujących jedynkę grupy[31]. Pierścień grupy czwórkowej Kleina jest izomorficzny z pierścieniem macierzy typu nad

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Semadeni Z., Wiweger A.: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Warszawa: 1978.

Przypisy

  1. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.
  2. Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną.
  3. Dla grupy są to odpowiednio homomorfizmy oraz dla pewnego zbioru (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru i grupy jako homomorfizm (zob. Niezmienniczość).
  4. Mają one postać dla grup
  5. Zwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).
  6. Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli ; wtedy oznacza W tym artykule oznacza przyłożenie funkcji a następnie czyli
  7. Własność wynika z równości (pierwsza kropka oznacza działanie w ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do
  8. Kolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do daje żądaną własność.</math>
  9. Dowodząc indukcyjnie: przypadek jest trywialny; jeżeli to
  10. W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że
  11. W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: dla co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako -modułów.
  12. Jeżeli to jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą zatem na mocy powyższej własności co daje tylko podzielność przez
  13. Innymi słowy dla dowolnego musi zachodzić oraz dla dowolnego musi zachodzić
  14. Wyróżnia się również tzw. -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
  15. Jądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną.
  16. Poniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej:
  17. W notacji potęgowej:
  18. Tzn. spełnia on tj. skąd dla każdego
  19. W notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: czy dla
  20. Równanie jest równoważne
  21. Podstawiając w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się dla każdego
  22. Dla dowolnego zachodzi przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż
  23. W starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; ss. 251-252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.
  24. (Semadeni i Wiweger, 1978; ss. 259-260).
  25. Elementem odwrotnym do jest
  26. Pierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji druga jest prawdziwa na mocy równości dla dowolnego (dowód drugiej równości, zob. grupa).
  27. W istocie jeżeli jest charakterystyczna w to musi być równa gdyż jak i muszą być podgrupami przy czym drugi warunek oznacza, że jest podgrupą
  28. Podobnie jak w poprzednim przypadku musi być dla dowolnego automorfizmu wewnętrznego wyznaczanego przez
  29. Ponieważ homomorfizmy zachowują jedynkę grupy, to w grupie rzędu czyli trywialnej jedynym automorfizmem jest tożsamość; w grupie rzędu oprócz jedynki przekształcanej na siebie automorfizm musi odwzorowywać pozostały element również na siebie).
  30. W gruncie rzeczy wszystkie homomorfizmy grup addytywnych w multiplikatywne danych ciał są funkcjami wykładniczymi, jednak są one interesujące również z tego względu, iż są rozwiązaniami równań różniczkowych, np. funkcja jest rozwiązaniem równania Zależności między tymi własnościami bada się w topologii algebraicznej rozważając tzw. grupy Liego (grup z działaniami ciągłymi na przestrzeniach topologicznych); wówczas powyższe dwie grupy są grupami topologicznymi, homomorfizm jest ciągły, czyli jest również homomorfizmem grup topologicznych (a więc homomorfizmem grup Liego). W ten sposób badanie homomorfizmów grup topologicznych ma bliski związek z rozwiązywaniem równań różniczkowych.
  31. Jeżeli ma rząd większy niż zaś są różnymi jej elementami to istnieje bijekcja zbioru dla której nie może być ona zawężeniem do żadnego automorfizmu Jeżeli jest rzędu to jest cykliczna i ma dwuelementową grupę automorfizmów.