Grupa (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Grupastruktura algebraiczna definiowana jako zbiór z określonym na nim łącznym i odwracalnym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym[1][a]. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

Motywacja[edytuj]

Rys historyczny opisujący motywacje twórców teorii wraz zastosowaniami można znaleźć w artykule dotyczącym teorii grup.
W zbiorze liczb całkowitych z ich dodawaniem można wyodrębnić następujące własności:
  • jest działaniem dwuargumentowym określonym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • istnieje liczba całkowita, mianowicie która spełnia dla wszystkich
  • dla wszystkich istnieje liczba całkowita, jest nią dla której
Niech oznacza zbiór dodatnich liczb rzeczywistych wraz z działaniem mnożenia, które przejawia własności analogiczne do powyższych:
  • jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • istnieje dodatnia liczba rzeczywista, mianowicie która spełnia dla wszystkich
  • dla wszystkich istnieje dodatnia liczba rzeczywista, jest nią dla której
Rozpatrując zbiór gdzie jest liczbą naturalną, z działaniem dodawania modulo (zob. arytmetyka modularna) okazuje się, że:
  • jest działaniem dwuargumentowym na tzn. dla dowolnych jest
  • dla dowolnych zachodzi
  • istnieje liczba całkowita modulo mianowicie która spełnia dla wszystkich
  • dla wszystkich istnieje liczba całkowita modulo jest nią dla której
Niech oznacza niepusty zbiór, zaś jest zbiorem wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru na siebie. Rozważając składanie przekształceń z można zauważyć, że:
  • jest działaniem dwuargumentowym na ponieważ jeśli są wzejmnie jednoznacznymi przekształceniami na siebie, to również;
  • dla dowolnych zachodzi
  • istnieje przekształcenie w mianowicie które spełnia dla wszystkich
  • dla wszystkich istnieje przekształcenie, jest nim dla którego

Wszystkie powyższe przykłady opisują grupy; w każdym przypadku dany jest niepusty zbiór, na którym określono działanie dwuargumentowe o szczególnych własnościach — tak niżej zostaną zdefiniowane grupy. Dlaczego bada się struktury, które spełniają powyższe/poniższe cztery własności, nie zaś inne; z jakiego powodu wybrano właśnie tę kombinację własności, a nie tylko ich część bądź jakąś dodatkową? Nie ma powodu, by wykluczać te, czy inne możliwości — w istocie rozpatruje się inne teorie i wiele ze wspomnianych kombinacji własności ma swoje nazwy (zob. Podobne struktury), jednakże są one dużo mniej ważne niż struktury spełniające wyróżnione cztery własności.

Teoria matematyczna, aby mogła być uznana za ważną, musi być dostatecznie ogólna, a zarazem mieć znaczenie informatywne. Teoria, której postulaty są w wielu przypadkach zbyt ograniczające, okaże się nieistotna w obszarach, w których nie sposób je zapewnić, co ostatecznie przełoży się na ograniczone nią zainteresowanie. Interesujące teorie są ogólne, jednakże ogólność ma cenę: treść. Umożliwiając spełnienie aksjomatów teorii w różnych obszarach i wielu kontekstach, należy zdawać sobie sprawę, że teoria dotyczyć będzie tylko tego, co jest w nich wspólne – może się wtedy okazać, że nie ma takich rzeczy. Istnieje więc niebezpieczeństwo, że teoria będzie się sprowadzać do listy nieciekawych parafraz postulatów pozbawionych głębi. Nakładanie ograniczeń zmniejsza zakres użycia i zainteresowanie teorią, znoszenie ograniczeń prowadzi do pustej teorii. Wyważenie między ogólnością a treścią jest trudnym zagadnieniem, a teoria grup jest jedną z tych, w których udało się osiągnąć równowagę – dzięki temu znajduje ona zastosowanie w matematyce czystej i stosowanej, fizyce teoretycznej oraz innych naukach przyrodniczych (zob. teoria grup). Ponadto pełna jest ona głębokich, interesujących i pięknych wyników. To właśnie wskazuje na to, że wybór czterech własności przedstawionych w definicji można uważać za rozsądny; zastosowania podobnych struktur nie okazały się tak owocne, jak grup.

Definicja[edytuj]

Zbiór z (dobrze[b]) określonym na nim dwuargumentowym działaniem nazywa się grupą, jeżeli ma on następujące własności (spełnia poniższe aksjomaty):

  • Wewnętrzność: dla dowolnych elementów ze zbioru ich wynik również należy do zbioru mówi się wtedy, że zbiór jest zamknięty ze względu na
  • Łączność: dla wszystkich należących do musi zachodzić
  • Element neutralny: istnieje element w zbiorze spełniający dla dowolnego elementu z tego zbioru warunek
  • Odwracalność: dla każdego musi istnieć dla których

Grupa to para uporządkowana a więc zbiór nazywany nośnikiem, z działaniem Dlatego grupy oraz są równe, o ile oraz jako funkcje (relacje) na tym zbiorze; na zbiorze mogą istnieć dwa różne działania oraz ze względu na które będzie tworzyć grupę, wtedy oraz są różnymi grupami.

Charakteryzacje[edytuj]

Wprost z definicji można wywieść kilka trywialnych, choć ważnych obserwacji. Warunek łączności oznacza, że kolejność obliczania (nawiasowanie elementów) nie ma wpływu na ostateczny wynik; dzięki napis postaci ma sens i może jednoznacznie wskazywać element [c]. Postulat istnienia elementu neutralnego oznacza, że nośnik grupy nie może być zbiorem pustym[d].

W definicji nie zapewnia się nic ponad istnienie (co najmniej jednego) prawostronnego elementu neutralnego, który służy zagwarantowaniu istnienia (co najmniej jednego) prawostronnego elementu odwrotnego do danego[e]. Mimo to wynika z niej[f], że grupa ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny, który równocześnie jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym; w związku z tym mówi się po prostu o elemencie neutralnym grupy. Podobnie dowolny ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny, który jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem odwrotnym do dlatego nazywa się go elementem odwrotnym do i wprowadza dla niego oznaczenie

W świetle tych obserwacji przyjmuje się często definicje:

  • Element neutralny*: istnieje jednoznacznie wyznaczony element w zbiorze spełniający dla dowolnego elementu z tego zbioru warunek
  • Odwracalność*: dla każdego musi istnieć jednoznacznie wyznaczony dla których

Ich przyjęcie zwalnia z dowodzenia wyżej przedstawionych własności, jednak podejście to wymaga sprawdzenia dużo większej liczby warunków zawartych w definicji[g]; uzasadnia to też definiowanie grupy jako uporządkowanej czwórki której trzeci element oznacza (jednoargumentowe) działanie odwracania, a czwarty — (wyróżniony) element neutralny.

W definicji można zastąpić istnienie prawostronnych elementów neutralnych i odwrotnych na lewostronne nie zmieniając jej sensu; okazuje się jednak, że zmiana musi dotyczyć obu rodzajów elementów jednocześnie: istnienie prawostronnego elementu neutralnego i lewostronnych elementów odwrotnych nie zawsze zapewnia istnienie struktury grupy w zbiorze[i] (por. Przykłady), podobnie dotyczy to lewostronnego elementu neutralnego i prawostronnych elementów odwrotnych.

Przytoczona definicja nie jest jedyną, która wprowadza w zbiorze strukturę grupy. Poza istnieniem łącznego działania dwuargumentowego można założyć dla każdego istnienie elementu spełniającego warunek dla dowolnych [2]; inną możliwością jest wprowadzenie obok działania dwóch innych działań dwuargumentowych: oraz [j], które dla dowolnych spełniają [k][3].

Grupę spełniającą piąty aksjomat:

  • Przemienność: dla dowolnych elementów zbioru spełniona jest równość

nazywa się grupą przemienną (lub abelową[l]); powyższy warunek dotyczy ściśle rzecz ujmując działania dwuargumentowego określonego na które nazywa się przemiennym – grupa przemienna jest więc grupą z działaniem przemiennym[m]. Warunek przemienności jest na tyle silny, iż umożliwił rozwój teorii grup przemiennych w oderwaniu od ogólnej teorii grup jako dość samodzielnego działu matematyki[n][o].

Konwencje zapisu[edytuj]

Badanie grupy polega na dociekaniu, w jaki sposób zależy od elementów oraz nie zaś od nazwy, czy znaku samego działania. Mając to na uwadze przyjęło się pomijać znak działania zastępując go zestawieniem: zamiast pisze się (czasami ). Samo działanie nazywa się mnożeniem, rozumianym w związku z tym w szerokim sensie. Może ono oznaczać mnożenie liczb, ale też złożenie odwzorowań, branie różnic symetrycznych zbiorów, czy też jakąkolwiek inną bardziej wymyślną definicję (por. Przykłady). Mówi się wtedy, że w grupie używa się zapisu multiplikatywnego bądź że jest ona grupą multiplikatywną. Dlatego też, mówi się też o iloczynie elementów oraz Ponadto element neutralny oznacza się często cyfrą przy czym nie musi to być liczba 1: może to być odwzorowanie tożsamościowe, zbiór pusty, czy obiekt innego rodzaju. Nie stosuje się jednak zapisu zamiast dla elementu odwrotnego do Opisany sposób zapisu będzie wykorzystywany w dalszej części artykułu (zachowane zostanie oznaczenie dla elementu neutralnego).

Obok zapisu multiplikatywnego stosuje się również zapis addytywny, w szczególności, gdy grupa jest przemienna. Działanie oznacza się w nim znakiem „+” i nazywa dodawaniem, rozumianym – podobnie jak mnożenie – w szerokim sensie. Element nazywa się sumą elementów oraz W grupie addytywnej element neutralny oznacza się cyfrą przy czym znowu nie musi on oznaczać liczby 0. Ponadto element odwrotny do zapisuje się i nazywa elementem przeciwnym do

Zwyczajowo grupą nazywa się nie parę grupa–działanie, a sam nośnik – zbiór – o ile nie prowadzi to do niejasności: jak wspomniano wcześniej, na zbiorze można często określić wiele grup; w takim przypadku sformułowania „grupa addytywna” i „grupa multiplikatywna” służą wyróżnieniu jednej z nich[p].

Właściwości[edytuj]

Niech będzie grupą i Wówczas:

  • istnieje jeden i tylko jeden dla którego oraz jeden i tylko jeden dla którego [q][r];
  • obowiązują prawa skracania: jeżeli to (skracanie lewostronne) oraz: jeżeli to (skracanie prawostronne)[s];
  • zachodzi [t][u] oraz [v][w].

W definicji grupy określa się iloczyn dwóch elementów; wcześniej wprowadzony został jednoznaczny iloczyn trzech elementów[x]; podobnie można wprowadzić iloczyn czterech elementów[y]. W celu uproszczenia notacji w podobny sposób wprowadza się ogólny iloczyn elementów grupy () definiowany poprzez -krotny iloczyn dwóch elementów; nawiasy można wstawić na wiele sposobów[z], jednak dzięki łączności wszystkie one dają ten sam wynik[aa]: [ab] równy Jeśli () są wszystkie równe to pisze się w szczególności a przy tym Tę obserwację można wyrazić więc w postaci (dla i ); ponadto ()[ac].

Własności te rozszerza się na wykładniki całkowite; przyjmuje się, że (element neutralny) oraz (element odwrotny do ) dla oraz Ze względu na to, dla wszystkich oraz :

  • zachodzi równość [ad],
  • prawdą jest [ae],
  • obowiązuje tożsamość [af].

Dodatkowo dla zachodzi [ag]; obserwacja ta dowodzi też Jeżeli są elementami, dla których to [ah], a stąd [ai] dla wszystkich [aj]. Jeśli dla dowolnego to grupa jest przemienna[ak].

W przypadku grup addytywnych zamiast pisze się dla i definiuje oraz dla Określa to dla oraz Poprzednie obserwacje zapisuje się wtedy odpowiednio: , oraz ponadto ( w ostatniej tożsamości istotne jest założenie przemienności grupy).

Przykłady[edytuj]

Niech dla dowolnych elementów oraz zbioru będzie czy jest grupą?
  • Wewnętrzność: jest działaniem wewnętrznym w ponieważ i o ile tzn. jest zamknięty ze względu na
  • Łączność: czy dla dowolnych zachodzi ? Ponieważ czyli to działanie jest łączne, gdyż działanie jest łączne w
  • Element neutralny: czy istnieje w element, niech to będzie dla którego dla wszystkich ? Jest to prawdą, o ile co jest równoważne przy tym brak jakiegokolwiek warunku na Przykładowo oraz są prawostronnymi elementami neutralnymi[al]; w rzeczywistości dowolny element jest prawostronnym elementem neutralnym.
Ponieważ grupa ma jeden i tylko jeden prawostronny element neutralny[am], to nie jest grupą ze względu na Z drugiej strony, przykładowo względem (w zasadzie względem dowolnego prawostronnego elementu neutralnego), każdy element ma lewostronny element odwrotny : (względem lewostronnym elementem odwrotnym do jest ).

W ten sposób jest strukturą, w której istnieje prawostronny element neutralny oraz lewostronne elementy odwrotne względem każdego elementu, mimo to nie jest grupą (zob. Charakteryzacje).

Czy definiując na działanie dane wzorem dla wszystkich otrzymuje się grupę ?

  • Wewnętrzność: dla dowolnych element jest liczbą całkowitą, zatem jest zamknięty ze względu na
  • Łączność: dla wszystkich ma być spełnione istotnie czyli jest łączne.
  • Element neutralny: czy istnieje dla której dla każdego ? Równość daje czyli Liczba istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym, gdyż dla każdego
  • Element odwrotny: czy liczba całkowita ma prawostronny element odwrotny w ? Warunek daje tj. Liczba rzeczywiście jest prawostronnym elementem odwrotnym do ponieważ

W rzeczy samej, zbiór jest grupą względem działania

Dla dowolnych dwóch elementów niech czy jest grupą ze względu na ?
  • Wewnętrzność: sprawdzenie, że dla dowolnych zachodzi nie wystarcza — należy również wykazać, że Niech zakładając wykazana zostanie sprzeczność. Otóż jeśli to czyli a więc co oznacza, że lub sprzeczność. Zatem czyli jest działaniem wewnętrznym w
  • Łączność: czy dla dowolnych jest ? Rozpisując obie strony równania otrzymuje się kolejno: następnie oraz co oznacza, że jest łączne.
  • Element neutralny: szukany jest element który dla dowolnego spełnia Zakładając, że taki element istnieje, otrzymuje się skąd czyli a więc (ponieważ ). Nie dowodzi to jeszcze, że jest prawostronnym elementem neutralnym; poprzednie rozumowanie przekonuje jedynie, że prawostronny element neutralny, o ile istnieje, musi być równy Aby przekonać się, że istotnie jest prawostronnym elementem neutralnym należy zauważyć, że dla każdego ponieważ to istotnie jest to prawostronny element neutralny w
  • Element odwrotny: dla każdego należy znaleźć spełniający daje to czyli tj. skąd tzn. co ma sens, gdyż Nie oznacza to, że jest prawostronnym elementem odwrotnym do a jedynie to, że o ile taki element istnieje, musi mieć podaną wartość. Dlatego należy wykazać, że dla każdego oraz że Otóż a ponadto gdyż oraz oznaczałyby, że czyli dawałoby sprzeczność.

Ponieważ spełnione są wszystkie aksjomaty grupy, to tworzy grupę z określonym wyżej działaniem

Niech oznacza niepusty zbiór, a oznacza zbiór wszystkich podzbiorów Zbiór tworzy grupę z działaniem różnicy symetrycznej ponieważ spełnione są aksjomaty grupy:

  • Wewnętrzność: dla dowolnych zbiór jest podzbiorem czyli a więc jest zamknięty ze względu na
  • Łączność: jest łączne.
  • Element neutralny: podzbiór pusty jest prawostronnym elementem neutralnym.
  • Element odwrotny: każdy element ma ma prawostronny element odwrotny, mianowicie samego siebie, ponieważ dla dowolnego

Najprostszą, a zarazem najmniejszą grupą jest grupa trywialna złożona z jednego elementu[an]. Dalsze przykłady obejmują grupę przekształceń ustalonego zbioru (ostatni przykład w Motywacja); grupę euklidesową, czyli grupę izometrii ustalonej przestrzeni euklidesowej; grupę symetrii danej figury przestrzeni euklidesowej, czyli grupę izometrii własnych tej figury (tzn. izometrii odwzorowujących figurę na siebie); grupę diedralną, tzn. grupę symetrii wybranego wielokąta foremnego[ao] (wszystkie z działaniem składania przekształceń). Ze względu na możliwość reprezentacji elementów grupy jako macierzy, ważnym przykładem są różnorodne grupy macierzy (odwracalnych z działaniem ich mnożenia, np. wygodna reprezentacja macierzowa grupy kwaternionów).

Pojęcia[edytuj]

Struktura

Wśród podanych wyżej przykładów grup niektóre z nich mają nośnik będący zbiorem skończonym, inne – zbiorem nieskończonym. Liczbę elementów grupy a dokładniej jego moc zbioru nazywa się rzędem tej grupy i oznacza symbolem Jeżeli jest skończony, to grupę również nazywa się skończoną, jeśli jest nieskończony, to mówi się, że grupa jest nieskończona[4]. Niekiedy rozróżnia się różne rodzaje nieskończoności, ale często przyjmuje się, że jeśli rząd grupy jest nieskończony, to pisze się gdzie symbol reprezentuje wszystkie typy nieskończoności.

Grupa jako zbiór (z określonym na nim działaniem dwuargumentowym spełniającym pewne własności) ma podzbiory; spośród wszystkich podzbiorów bardziej interesujące są te podzbiory, które odzwierciedlają strukturę algebraiczną grupy, gdyż pomagają zrozumieć jej budowę. Wyróżnione miejsce zajmują pośród nich te, które same są grupami (ze względu na to samo działanie): nazywa się je podgrupami danej grupy. Wśród innych podzbiorów grupy istotne miejsce zajmują warstwy względem określonej podgrupy, które stanowią rozbicie nośnika na rozłączne podzbiory; liczbę warstw względem wybranej podgrupy nazywa się indeksem tej podgrupy w grupie (podobnie jak w przypadku rzędu można rozróżniać rodzaje nieskończoności, jednak częstokroć się tego nie czyni). Ponieważ warstwy danej grupy względem jej ustalonej podgrupy są równoliczne, to rząd grupy jest równy iloczynowi rzędu podgrupy oraz indeksu podgrupy w grupie; w szczególności jeśli grupa jest skończona, to rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy — ta ważna obserwacja nazywana jest twierdzeniem Lagrange’a.

Dla grupy oraz zbiór wszystkich potęg całkowitych elementu jest niepusty, a ponadto tworzy podgrupę w [ap] — nazywa się go podgrupą cykliczną grupy generowaną przez element Gdy to nazywa się grupą cykliczną, a element nazywa się generatorem tej grupy. Rząd tej podgrupy nazywa się rzędem elementu i oznacza (jak wyżej, zwykło się przyjmować, że wartość ta jest liczbą naturalną albo nieskończonością). Jeżeli jest skończona, to każdy element ma skończony rząd, a dokładnie na mocy twierdzenia Lagrange’a; w grupach nieskończonych mogą istnieć tak elementy rzędu skończonego, jak i nieskończonego. Definicję generowania podgrupy przez element rozszerza się na zbiory elementów: jeżeli to nazywa się podgrupą generowaną przez i składa się ze wszystkich skończonych iloczynów elementów w oraz ich odwrotności (przyjmuje się, że jest trywialna; ponadto a oznacza się ); jeżeli oraz to nazywa się zbiorem generatorów grupy a o grupie mówi się, że jest generowana przez jeśli grupa ma skończony zbiór generatorów, to nazywa się ją skończenie generowaną.

Przekształcenia

Zbiór warstw względem podgrupy szczególnego rodzaju, tzw. podgrupy normalnej, można wyposażyć w naturalnie określone działanie, względem którego będzie on tworzyć grupę nazywaną grupą ilorazową (danej grupy przez wspomnianą podgrupę normalną). Oprócz tego, że mogą one służyć do tworzenia kolejnych, mniejszych grup (zachowując przy tym własności grupy wyjściowej, np. przemienność, czy cykliczność)[aq] umożliwiają one wniknięcie w budowę grupy za pomocą homomorfizmów grup, tzn. przekształceń zachowujących strukturę algebraiczną grup; centralną rolę pełni tu twierdzenie o izomorfizmie (wraz z nieco ogólniejszym twierdzeniem o homomorfizmie). Podgrupy mogą być wkomponowane w grupę we względnie prosty bądź w dość złożony sposób, przedstawiając grupę w postaci iloczynów jej podgrup: ogólnego, półprostego, czy prostego (można je opisać za pomocą tzw. iloczynu kompleksowego). Ogólnie wszystkie wspomniane pojęcia, przede wszystkim grupy ilorazowe i podgrupy, można wykorzystać do opisu grupy za pomocą jej prezentacji: dowolna grupa jest ilorazem grupy wolnej nad zbiorem generatorów danej grupy przez podgrupę relacji spełnianych tej grupie[ar].

Automorfizmy grupy to przekształcenia, które można uważać za uogólnienie izometrii własnych figur geometrycznych (por. Przykłady). Podgrupy normalne to podgrupy, które „wyglądają tak samo niezależnie od sposobu patrzenia”; formalizację tej intuicji umożliwia relacja sprzężenia elementów (elementy sprzężone mają te same własności, np. ten sam rząd) oraz klasa automorfizmów nazywanych wewnętrznymi (wyznaczanych przez sprzężenia). W ogólności podgrupy sprzężone (jedna z drugą) należy rozumieć jako podgrupy, które „wyglądają tak samo zmieniwszy sposób patrzenia” (z tego powodu podgrupy normalne nazywa się czasem „samosprzężonymi”); formalnie dwie podgrupy są sprzężone, gdy jedna jest obrazem drugiej w pewnym automorfizmie wewnętrznym. Automorfizmy grupy tworzą grupę ze względu na składanie przekształceń, a automorfizmy wewnętrzne grupy tworzą podgrupę (normalną) we wspomnianej grupie automorfizmów.

Centrum grupy to podgrupa (normalna) elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy jej rozmiar mówi więc o stopniu przemienności grupy; związek między centrum a automorfizmami wewnętrznymi ustala grupa ilorazowa przez która ma tę samą strukturę, co grupa Innym pojęciem służącym określeniu stopnia przemienności, czy też raczej nieprzemienności, grupy jest komutator dwóch elementów; podgrupa generowana przez wszystkie komutatory, nazywana pochodną grupy (lub jej komutantem), jest trywialna, gdy grupa jest przemienna. Podgrupa ta umożliwia wskazanie przemiennych grup ilorazowych: są nimi te grupy ilorazowe, których pochodna zawiera się w podgrupie normalnej będącej dzielnikiem; pozostałe grupy ilorazowe są nieprzemienne. Podgrupa charakterystyczna (będąca przypadkiem szczególnym podgrupy normalnej) to podgrupa, która „wygląda symetrycznie” (strukturę pierwszych zachowują wszystkie automorfizmy grupy, podczas gdy drugich jedynie część z nich — tylko wewnętrzne). Przykładami są m.in. wspomniane centrum, czy pochodna grupy[as].

Działanie
 Osobny artykuł: działanie grupy na zbiorze.

W sekcji Przykłady zasygnalizowano istnienie grup funkcji, np. grupy przekształceń danego zbioru grupy izometrii przestrzeni euklidesowej, wyżej wspomniano również o grupie funkcji zachowujących mnożenie w Ogólnie, jeśli jest zbiorem z określoną na nim pewną strukturą (algebraiczną, geometryczną, analityczną, topologiczną, czy inną), odwzorowania określone na które zachowują tę strukturę, tworzą grupę. Działanie grupy na zbiorze pozwala na uchwycenie funkcyjnego charakteru elementów grupy, który mogą one przejawiać; o elementach grupy można myśleć właśnie jako o funkcjach określonych na zbiorze W gruncie rzeczy dowolne działanie grupy na zbiorze można rozumieć jako homomorfizm grupy w grupę (tzw. reprezentacja permutacyjna grupy ). Wykorzystując pojęcie działania grupy na zbiorze można w czytelny sposób uzasadnić twierdzenie Cayleya: grupa ma tę samą strukturę, co pewna podgrupa przekształceń (wzajemnie jednoznacznych) zbioru Wiele informacji o grupie można pozyskać rozważając działanie grupy na zbiorze poprzez sprzężenia (zob. klasa sprzężoności).

Rozkłady

Proste odwrócenie twierdzenia Lagrange’a jest fałszywe: jeśli jest dzielnikiem rzędu grupy skończonej to nie musi mieć podgrupy rzędu nałożenie dodatkowego warunku na by było potęgą liczby pierwszej (grupy o rzędzie wyrażającym się potęgą liczby pierwszej to tzw. grupy pierwsze) i było względnie pierwsze z sprawia, że teza twierdzenia staje się prawdziwa — jest to pierwsze z trzech twierdzeń Sylowa. Wspomniana podgrupa (pierwsza) rzędu nazywana jest podgrupą Sylowa[at]; drugie twierdzenie Sylowa mówi, że podgrupy Sylowa są sprzężone; trzecie opisuje liczbę możliwych podgrup Sylowa.

Grupy zawierające podgrupy normalne można rozłożyć na iloraz oraz wspomnianą podgrupę normalną[au]. Nietrywialną grupę nazywa się prostą, jeżeli nie ma ona nietrywialnych, właściwych podgrup normalnych – definicja ta przywodzi na myśl liczby pierwsze: podobnie jak liczby pierwsze są „budulcem” liczb całkowitych, tak grupy proste są „budulcem” pewnego rodzaju grup; analogii tej nie należy jednak posuwać zbyt daleko, gdyż różne grupy mogą składać się z tych samych elementów składowych – problem konstrukcji grupy znany jako problem rozszerzenia nadal oczekuje na rozwiązanie. Proste grupy przemienne to dokładnie grupy cykliczne o rzędzie będącym liczbą pierwszą (zob. klasyfikacja skończonych grup przemiennych); innym przykładem są grupy alternujące (grupa permutacji parzystych z działaniem ich składania) stopnia piątego i wyższych.

Jeżeli jest podgrupą w to skończony ciąg podgrup w (zawierający oraz ) nazywa się ciągiem (podnormalnym lub subnormalnym) od do gdy każda podgrupa ciągu jest podgrupą normalną kolejnej. Elementy ciągu nazywa się jego wyrazami, a grupy ilorazowe kolejnych wyrazów – jego ilorazami (lub faktorami); ciąg od podgrupy trywialnej do nazywa się krótko ciągiem Jeśli każdy wyraz ciągu jest normalny/charakterystyczny w to cały ciąg nazywa się normalnym/charakterystycznym; gdy ciąg nie zawiera powtórzeń (zawieranie właściwe podgrup), to ciąg nazywa się właściwym. Ciąg (2) od do nazywa się zagęszczeniem ciągu (1) od do jeżeli każdy wyraz (1) jest również wyrazem (2); zagęszczenie ciągu (1) można więc uzyskać poprzez wstawienie dodatkowych grup – niekoniecznie różnych od wyrazów ciągu (1) – między kolejne wyrazy ciągu (1). Gdy jednak (2) jest zagęszczeniem (1) i co najmniej jeden wyraz (2) nie był wyrazem (1), to (2) nazywa się zagęszczeniem właściwym (1). Ciąg nazywa się ciągiem kompozycyjnym, jeśli jest ciągiem właściwym i nie ma zagęszczenia właściwego (ilorazy ciągu kompozycyjnego to ilorazy kompozycyjne); ciąg kompozycyjny grupy można scharakteryzować jako ciąg w którym wszystkie ilorazy są proste. Dwa ciągi grupy równoważne, gdy mają tę samą liczbę wyrazów i ilorazy pierwszego ciągu mają, w pewnym porządku, tę samą strukturę co ilorazy drugiego ciągu (a więc niekoniecznie odpowiadające sobie wyrazy ciągów). Twierdzenie Jordana–Höldera mówi, że dowolne dwa ciągi kompozycyjne danej grupy są równoważne (o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny[av]); w istocie prawdziwe jest dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera, które zapewnia, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia (wniosek: każdy ciąg właściwy grupy ma zagęszczenie będące ciągiem kompozycyjnym)[aw]. Przytoczone wyniki są elementem szerszej klasyfikacji skończonych grup prostych[ax].

Ciąg od do nazywa się abelowym, gdy wszystkie ilorazy są abelowe (przemienne). Grupę nazywa się rozwiązalną, jeśli ma ciąg abelowy[l]. Każda grupa przemienna jest rozwiązalna, choć istnieją rozwiązalne grupy nieprzemienne; ponadto podgrupy i grupy ilorazowe grup rozwiązalnych również są rozwiązalne, z drugiej strony jeśli rozwiązalna jest podgrupa normalna i iloraz grupy przez nią, to rozwiązalna jest i sama grupa. Przykładami grup nierozwiązalnych są znowu grupy alternujące stopnia piątego i wyższych, rozwiązalne są z kolei skończone grupy pierwsze. Ogólniej: ponieważ rozwiązalne grupy proste to grupy cykliczne rzędu będącego liczbą pierwszą, to skończone grupy rozwiązalne to grupy, w których każdy iloraz kompozycyjny ma rząd wyrażający się liczbą pierwszą. Wynika stąd, że grupy permutacji stopnia piątego i wyższych również są nierozwiązalne. Obserwacja ta pełni kluczową rolę w dowodzie tego, że równanie wielomianowe stopnia większego niż cztery nie może być rozwiązane za pomocą pierwiastników (tzn. czterech działań arytmetycznych i pierwiastkowania, tj. potęg i pierwiastków o wykładniku/stopniu naturalnym) – jest to tzw. twierdzenie Abela–Ruffiniego.

Zbiór elementów skończonego rzędu grupy przemiennej tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną iloraz przez poza elementem neutralnym zawiera wyłącznie elementy nieskończonego rzędu. Ogólnie dowolną grupę nazywa się torsyjną, o ile tylko zawiera wyłącznie elementy skończonego rzędu; grupę, w której każdy element poza neutralnym ma rząd nieskończony nazywa się beztorsyjną (w ten sposób jedyną grupą jednocześnie torsyjną i beztorsyjną jest grupa trywialna; każda grupa skończona jest torsyjna, choć torsyjna jest również nieskończona grupa ilorazowa przez grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne nazywa się mieszanymi). Twierdzenie klasyfikacyjne są w matematyce bardzo pożądane, lecz niezmiernie rzadkie: nie mniej istnieje wyczerpująca klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych (twierdzenie Frobeniusa–Stickelbergera). Wystarczy więc zbadać dwie klasy grup przemiennych: torsyjne i beztorsyjne, a następnie znaleźć sposób na skonstruowanie z nich grupy przemiennej. Nie obędzie się jednak bez dodatkowych warunków nałożonych na : jeśli przyjąć, że jest skończenie generowana, to jest skończona. Wtedy badanie skończonych grup przemiennych sprowadza się do badania skończonych, przemiennych grup pierwszych[ay] oraz beztorsyjnych grup przemiennych — wykorzystuje się do tego pojęcia niezależności, bazy (niezależnego zbioru generującego grupę, o ile nie zawiera on elementu neutralnego) oraz rangi grupy (jednoznacznie wyznaczonej liczby elementów w bazie)[az]. Złączenie części torsyjnej i beztorsyjnej przebiega w najprostszy możliwy sposób: poprzez iloczyn prosty — struktura skończenie generowanej grupy przemiennej wyznaczona jest w zupełności przez zbiór liczb całkowitych w jednoznaczny sposób.

Podobne struktury[edytuj]

Struktury grupopodobne
Wewnętrzność Łączność E. neutralny Odwrotność Przemienność
Grupoid T
Półgrupa T T
Monoid T T T
Grupa T T T T
przemienna T T T T T
Pętla T T T
Quasi-grupa T T
T — warunek wymagany; — warunek niekonieczny

Niech będzie dowolnym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym Istnieje szereg podobnych struktur mających osobne nazwy, które spełniają aksjomaty podobne do aksjomatów grupy; struktura jest:

  • grupoidem bez dodatkowych założeń,
  • półgrupą, gdy działanie jest łączne,
  • monoidem, gdy działanie półgrupy ma element neutralny[ba],
  • quasi-grupą, gdy dla każdego elementu istnieje element do niego odwrotny względem
  • pętlą (lupą), gdy działanie w quasi-grupie ma element neutralny.
  • grupą przemienną (abelową), gdy działanie w grupie jest przemienne.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Grupa to monoid, w którym każdy element ma element odwrotny; zob. Podobne struktury.
  2. Sformułowanie „dobrze określone” oznacza, że działanie jest funkcyjne, tzn. dowolnym dwóm elementom przypisuje jednoznacznie trzeci element. Mogłoby się wydawać, że wymaganie to jest oczywiste, jednak możliwe jest podanie nie budzącego początkowo zastrzeżeń przykładu, w którym przypisywany element zależy nie od samych elementów, ale od sposobu ich identyfikacji („nazw”); zasadniczo sytuacja ta pojawia się zwykle w wyniku utożsamiania ze sobą elementów (zob. relacja równoważności, grupa ilorazowa, warstwa – Przykłady).
  3. Przyjęcie takiej umowy byłoby błędem, gdyby działanie nie było łączne. Przykładowo dzielenie nie jest działaniem łącznym na poza przypadkiem (tutaj ); wyrażenie jest niejednoznaczne.
  4. De facto najmniejszymi grupami w sensie liczby elementów są grupy jednoelementowe (zob. Przykłady).
  5. Definicja nie mówi zatem, że istnieje tylko jeden element będący prawostronnym elementem neutralnym (choć faktycznie tak jest, zob. dalej). Co więcej w definicji nie wspomina się o lewostronnych elementach neutralnych, ich istnieniu, czy związkach między nimi. Podobnie definicja nie wyklucza istnienia wielu prawostronnych elementów neutralnych o tej własności, przy czym część z nich może ją mieć, a część nie. Ponadto część (lub wszystkie) elementy mogą mieć więcej niż jedną odwrotność względem części (lub wszystkich) prawostronnych elementów neutralnych.
  6. a b c d e f Lemat
    Z definicji grupy wynika, że:
    1. jeśli dla zachodzi to (element neutralny jest jedynym elementem idempotentnym);
    2. jest jednoznacznie wyznaczonym prawostronnym elementem neutralnym w
    3. prawostronny element odwrotny elementu z jest również lewostronnym elementem odwrotnym tego samego elementu;
    4. jest lewostronnym elementem neutralnym w
    5. jest jednoznacznie wyznaczonym lewostronnym elementem neutralnym w
    6. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny w
    7. każdy element ma jednoznacznie wyznaczony lewostronny element odwrotny w
    8. jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny dowolnego elementu jest równy jednoznacznie wyznaczonemu lewostronnemu elementowi odwrotnemu elementu
    Dowód
    1. Niech dla zachodzi niech oznacza prawostronny element odwrotny (istnieje z aksjomatów), tj. Wówczas skąd (łączność), a więc (gdyż ), co daje ( jest prawostronnym elementem neutralnym).
    2. Warunek oznacza, że jeśli jest prawostronnym elementem neutralnym, tzn. dla wszystkich to Podstawiając w szczególności za otrzymuje się co oznacza z punktu 1.
    3. Innymi słowy: jeżeli to Niech zatem wtedy element jest równy (dwukrotnie łączność), a z założenia jest on równy czyli dla zachodzi a więc z punktu 1. wynika, że tzn.
    4. Należy udowodnić, że dla dowolnego niech zaś będzie jego prawostronnym elementem odwrotnym. Wówczas skąd (punkt 3.), a stąd czyli dlatego i wreszcie co oznacza, że jest również lewostronnym elementem neutralnym.
    5. Niech dla wszystkich czyli będzie lewostronnym elementem neutralnym, wtedy W szczególności podstawiając za element otrzymuje się co z punktu 1. daje
    6. Wiadomo, że każdy element ma co najmniej jeden prawostronny element odwrotny, niech będzie to tzn. Należy wykazać, że jeżeli to (gdzie ). Niech więc oraz Z punktu 3. jest skąd czyli a więc to jest i wreszcie (punkt 4.).
    7. i 8. Niech a oznacza jego jednoznacznie wyznaczony prawostronny element odwrotny. Z punktu 3. wiadomo, że jest także lewostronnym elementem odwrotnym do tj. Należy udowodnić, że jeśli oraz to Niech zatem oraz wówczas skąd a więc czyli skąd
  7. Przy zastąpieniu warunków Element neutralny oraz Odwracalność warunkami Element neutralny* oraz Odwracalność* należy sprawdzić własności:
    1. istnieje spełniające dla każdego
    2. wspomniany spełnia też dla każdego
    3. jest jedynym elementem w o powyższych dwóch własnościach;
    4. dla dowolnego istnieje spełniający
    5. a ponadto
    6. przy czym jest jedynym elementem dla którego
    Stosując przedstawioną definicję wystarczy sprawdzić punkty 1. oraz 4.; punkty 2., 3., 5., 6. wynikają z 1. oraz 4., co znacząco ułatwia przekonanie się o tym, czy dany zbiór z działaniem tworzy grupę.
  8. Niech będą dwoma różnymi prawostronnymi elementami neutralnymi w strukturze algebraicznej (grupoidzie, zob. Podobne struktury) Zakładając, że struktura ta ma (co najmniej jeden) lewostronny element neutralny popada się w sprzeczność: z ich definicji jest wbrew założeniu, że są różne. Stąd struktura algebraiczna z więcej niż jednym prawostronnym elementem neutralnym nie może mieć lewostronnego elementu neutralnego.
  9. Niech oznacza strukturę algebraiczną (grupoid, zob. Podobne struktury) z działaniem danym wzorem dla wszystkich (działanie odpowiada rzutowi lewostronnemu dla pary uporządkowanej ). Działanie jest wewnętrzne wprost z definicji: bez względu na wybór działanie jest też łączne, ponieważ z jego definicji dla dowolnych zachodzi Z samej definicji działania wynika także, że każdy element jest prawostronnym elementem neutralnym. W ten sposób spełnione są trzy pierwsze aksjomaty grupy; ponadto skoro dla dowolnego jest a jest elementem neutralnym, to spełniony jest też warunek istnienia lewostronnego elementu odwrotnego. Z istnienia więcej niż jednego prawostronnego elementu neutralnego wynika jednak brak lewostronnych elementów neutralnych[h], co przeczy ustaleniom lematu[f], zatem nie może być grupą.
  10. Odpowiadających oraz w standardowej definicji; w szczególności oraz
  11. Do zdefiniowania grupy wystarczy jedynie działanie ; otóż , oraz Ponadto grupę można wtedy zdefiniować za pomocą jednego aksjomatu: dla dowolnych zachodzi
  12. a b Nazwa „abelowy” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych (zob. dalej) w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem); w późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832); jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.
  13. Tabliczki działania (tablice Cayleya) działań przemiennych są symetryczne względem przekątnej głównej (łączącej komórki w „lewym górnym” i „prawym dolnym” rogu).
  14. Teoria pierwszego rzędu grup przemiennych jest rozstrzygalna, czego nie można powiedzieć o ogólnej teorii grup.
  15. Przykładowo pojęcie podgrupy normalnej (zob. Pojęcia) nie odgrywa większej roli w teorii grup przemiennych, ponieważ wszystkie podgrupy są normalne, a w związku z tym różnorodne iloczyny grup stają się zwykłym iloczynem prostym. Dzięki przemienności możliwe jest sklasyfikowanie skończonych grup przemiennych, a nawet skończenie generowanych grup przemiennych (zob. dalej). Mimo tych sukcesów próby sklasyfikowania beztorsyjnych grup przemiennych skończonej rangi są daleko niezadowalające: obok wspomnianych grup skończenie generowanych satysfakcjonujący opis istnieje tylko dla grup o randze 1 (zob. postępy); podobnie istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi; badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane niż nad przeliczalnymi grupami torsyjnymi (zob. Pojęcia).
  16. Przykładowo zbiór liczb rzeczywistych wyposażony jest w wiele struktur, m.in. porządkową, topologiczną, geometryczną, algebraiczną; tę bogatą strukturę oznacza się zwykle symbolem W związku z tym mówi się o grupie addytywnej liczb rzeczywistych oznaczanej często po prostu i grupie multiplikatywnej niezerowych (odwracalnych) liczb rzeczywistych (zob. Przykłady, por. Motywacja).
  17. Jednoznaczność: Istnieje co najwyżej jeden dla którego Niech wtedy czyli a więc co daje na mocy lematu[f].
    Istnienie: O istnieniu co najmniej jednego można się przekonać kładąc Rzeczywiście,
    Drugi przypadek dowodzi się analogicznie jak pierwszy.
  18. Istnienie rozwiązań równania liniowego (z jedną niewiadomą) ma też interpretację w tabliczce działania (tablicy Cayleya): każdy wiersz/kolumna tablicy działania grupowego zawiera dany element grupy wyłącznie jeden raz.
  19. Mnożąc lewostronnie przez otrzymuje się co z łączności jest równoważne czyli a ponieważ jest elementem neutralnym, to ostatecznie Drugą część dowodzi się podobnie.
  20. Z definicji jest zatem jest lewostronnym elementem odwrotnym do co (z lematu[f]) oznacza, że jest elementem odwrotnym do
  21. Własność ta mówi więc, że odwracanie elementów traktowane jako działanie jednoargumentowe jest inwolucją (ponadto jest ono naturalnym antyizomorfizmem grupy i jej grupy przeciwnej, zob. homomorfizm grup).
  22. a b Ponieważ to jest elementem odwrotnym do
  23. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy (co jest równoważne a więc nie jest ogólną prawidłowością).
  24. Iloczyn trzech elementów w tej właśnie kolejności obliczany jest za pomocą dwóch iloczynów: najpierw następnie przez bądź najpierw następnie przez Dzięki łączności otrzymywane wyniki są równe, dzięki czemu można pisać bez nawiasów.
  25. Iloczyn czterech elementów oblicza się za pomocą trzech kolejnych iloczynów, co można zrobić na pięć różnych sposobów: które są jednak równe dzięki łączności: pierwsze dwa iloczyny są równe, gdyż ostatnie dwa są równe, ponieważ ponadto oraz (wystarczy położyć odpowiednio oraz by uzyskać oraz ). Umożliwia to opuszczenie nawiasów i pisanie na oznaczenie iloczynu elementów w tej właśnie kolejności.
  26. Dokładnie na (zob. silnia)
  27. Poniższe rozumowanie jest prawdziwe nie tylko dla grup, w związku z tym zostanie wyrażone w ogólniejszej postaci.
    Lemat
    Niech będzie niepustym zbiorem z określonym na nim działaniem dwuargumentowym oznaczanym przez zestawienie. Iloczyny elementów są niezależne od sposobu wstawiania nawiasów. Oznacza to, co następuje. Niech
    dla ( są więc podzbiorami zawierającymi iloczyny zredukowanymi do kolejnych mnożeń dwóch elementów z ).
    Teza: dla każdego i wszystkich zbiór zawiera jeden i tylko jeden element.
    Dowód
    Dowód przez indukcję względem Dla jest oczywiste, że tak jak i mają nie mniej, nie więcej jeden element. Dla teza to inna postać warunku łączności; dla teza wynika z rozumowania opisanego w jednej z poprzednich uwag (użyto tam wyłącznie łączności działania!).
    Niech i lemat będzie prawdziwy dla Niech należy udowodnić Z definicji jest oraz gdzie
    Dowiedzione zostanie najpierw przy założeniu Na mocy indukcji zbiór zawiera jeden i tylko jeden element; zatem Stosując hipotezę indukcyjną dla dla elementów również można stwierdzić, że również ma jeden i tylko jeden element; daje to W ten sposób teza jest więc prawdziwa w przypadku
    Niech teraz bez utraty ogólności można założyć, że Niech dla Stosując hipotezę indukcyjną dla dla elementów otrzymuje się dokładnie jeden element w oznaczany dalej Również z indukcji zastosowanej dla dla elementów istnieje dokładnie jeden element w mianowicie Raz jeszcze z indukcji zastosowanej do dla elementów istnieje dokładnie jeden element w , niech to będzie Z definicji jest czyli
    Jest Z indukcji zastsowanej do dla elementów zbiór ma jeden i tylko jeden element nazywany dalej Również z indukcji zastosowanej dla dla elementów istnieje dokładnie jeden element w mianowicie Znowu z indukcji zastosowanej do dla elementów zbiór ma dokładnie jeden element, niech to będzie Z definicji jest a więc
    Stąd oraz daje to co kończy dowód.
  28. Oznaczany również a w zapisie addytywnym
  29. Dowód przez indukcję ze względu na Przypadek jest trywialny, dla jest Niech oraz dla wszystkich należy wykazać, że dla wszystkich Ponieważ z założenia (podstawiono kolejno w miejsca ), to z założenia (kolejno w miejsca ), co kończy dowód.
  30. Jeśli , to wynika z powyższej uwagi. Jeśli to dla każdego jeśli zaś to dla każdego Zatem
    Należy dowieść tej relacji również dla Zmieniając notację (zastępując przez ) należy dowieść: (i) (ii) (iii) dla wszystkich
    (i) Niech Jeśli to na mocy Mnożąc prawostronnie przez otrzymuje się o ile Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, w przypadku Zamieniając z otrzymuje się w przypadku Zatem bez względu na to, czy czy
    (ii) Niech Jeśli to na mocy Mnożąc lewostronnie przez otrzymuje się o ile Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, w przypadku Zamieniając z otrzymuje się w przypadku Zatem bez względu na to, czy czy
    (iii) Niech Jest na mocy Biorąc odwrotności po obu stronach tego równania otrzymuje się, Zamieniając z otrzymuje się dla wszystkich
    Stąd dla wszystkich oraz
  31. Równość zachodzi dla , ponieważ Niech teraz oraz Wówczas Zatem dla wszystkich na mocy indukcji. Równość jest też prawdziwa, gdy ponieważ Należy ją teraz dowieść dla Zmieniwszy nieco notację dowiedzione zostanie dla wszystkich Istotnie, pierwszy znak równości wynika z powyższej definicji z w miejsce drugi z dowiedzionego właśnie faktu dla wszystkich trzeci raz jeszcze z powyższej definicji. W ten sposób dla wszystkich
  32. Jeśli , to wynika z powyższej uwagi. Jeśli to dla każdego jeśli zaś to dla każdego Zatem
    Należy dowieść tej relacji również dla Zmieniając notację (zastępując przez ) należy dowieść: (i) (ii) (iii) dla wszystkich
    Zapisując z w miejsce i korzystając z poprzedniego punktu otrzymuje się co dowodzi (i). Jest też co dowodzi (ii). Wreszcie jest co dowodzi (iii).
    Stąd dla wszystkich
  33. Dowód przez indukcję względem Jeśli teza zachodzi na podstawie poprzedniego rozumowania[v]. Gdy oraz to
    co należało wykazać.
  34. Przypadek jest trywialny. Z kolei z założenia, a więc stwierdzenie jest prawdziwe dla Niech i stwierdzenie będzie dowiedzione dla czyli Wówczas