Liniowo niezależny układ wektorów

Liniowo niezależny układ wektorów – układ wektorów $(x_{\iota })_{\iota =1}^{s}$ przestrzeni wektorowej $\mathbb {V}$ rozpiętej nad ciałem $\mathbb {K} ,$ dla którego każda zerująca się kombinacja jest trywialna, tzn. dla każdego układu skalarów $(\alpha _{\iota })_{\iota =1}^{s}$ prawdziwa jest implikacja:

$\left(\sum _{\iota =1}^{s}\alpha _{\iota }x_{\iota }=\mathbf {0} \right)\Rightarrow \left(\forall _{1\geqslant \iota \geqslant s}\ \alpha _{\iota }=0\right).$

Przykład

Układ wektorów $((a,b,c))$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{3},$ gdzie:

$a:=(0,5,7)$

$b:=(0,1,-2)$

$c:=(-4,0,0),$

jest liniowo niezależny, ponieważ:

$\alpha _{1}a+\alpha _{2}b+\alpha _{3}c=\mathbf {0} \Rightarrow (-4\alpha _{3},5\alpha _{1}+\alpha _{2},7\alpha _{1}-2\alpha _{2})=(0,0,0)\Rightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0.$

Własności

• Każdy niepusty podukład układu liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.
  • W szczególności: do żadnego układu liniowo niezależnego nie należy wektor zerowy.
• Układ wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z wektorów tego układu nie jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
• Układ jednoelementowy $(x)$ jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy $x\neq \mathbf {0}$.
• Dwa układy równoważne, liniowo niezależne, są równoliczne.
• Niech będą dane równoliczne układy wektorów: $(v_{\iota })_{\iota =1}^{r},\ (w_{\iota })_{\iota =1}^{r},$ tej samej przestrzeni $\mathbb {V} ,$ przy czym układ $(v_{\iota })_{\iota =1}^{r}$ jest liniowo niezależny oraz wyraża się liniowo przez układ $(w_{\iota })_{\iota =1}^{r}.$ Wtedy te układy są układami równoważnymi.