Przestrzeń liniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Przestrzeń liniowa to zbiór elementów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa lub wektorowazbiór elementów (nazywanych wektorami), w którym określono dwa działania:

  • dodawanie wektorów
  • skalowanie wektorów czyli mnożenie wektorów przez liczby (nazywane skalarami) z ustalonego ciała

przy czym działania te muszą spełniać poniżej wymienione aksjomaty (patrz Definicja).

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe:

Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem jest zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych - wielomian jest tu wektorem niegeometrycznym.

Przestrzenie liniowe stanowią podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych ).

Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.

Definicja:

Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem nazywa się zbiór z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:

(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru na zbiór , , które dowolnym wektorom przyporządkowuje pewien wektor , nazywany sumą wektorów , co symbolicznie zapisuje się w postaci

(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru i ciała , , które dowolnemu wektorowi i dowolnej liczbie przyporządkowuje pewien wektor , co symbolicznie zapisuje się w postaci

przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:

  1. Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych jest
  2. Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych jest
  3. Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego jest
  4. Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego istnieje element nazywany wektorem przeciwnym do taki że
  5. Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego oraz jest
  6. Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych oraz zachodzi
  7. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych oraz jest
  8. Mnożenie przez skalar ma element neutralny, tj. dla dowolnego istnieje element w (tzw. element neutralny mnożenia), że

Uwaga:

Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Przestrzeń linowa rzeczywista i zespolona[edytuj | edytuj kod]

Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych, .

Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych .

Informacje uzupełniające[edytuj | edytuj kod]

(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem jest strukturą matematyczną w której:

  • jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
  • jest ciałem,

wyposażoną w działanie (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar, oraz mnożenie skalarów (z ciała),

(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

  1. Przestrzeń jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
    jeżeli to
  2. Przestrzeń jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
    jeżeli to

Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.

(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

(5) Wyrażenia postaci „”, gdzie oraz ściśle rzecz ujmując są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „” oraz „” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa jest algebrą nad ciałem to dla oraz zachodzi co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „” i „” jako reprezentacji tego samego wektora.

(6) Symbol pomija się często dla działania mnożenia w ciele rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Suma wektorów. Wektor v jest dodany do wektora w.
Mnożenie wektorów. Wektor v jest mnożony przez 2, a następnie dodany do w.

Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

Tw. 1: Wektor zerowy jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli

oraz
to:

Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego jest:

Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego zachodzi

gdzie - element neutralny dodawania w

Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.

wtedy i tylko wtedy, gdy
lub

Tw. 5: Wektor odwrotny względem dodawania do jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli

są odwrotnościami takimi, że
oraz
to

Wektor nazywa się wektorem przeciwnym do .

Definicja (różnicy wektorów):

Różnicą wektora i wektora nazywa się wektor, który jest sumę wektora i wektora przeciwnego do wektora , tj.

Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego mamy

gdzie oznacza element odwrotny względem mnożenia w

Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego oraz zachodzi

Baza i wymiar przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

Definicja powłoki liniowej[edytuj | edytuj kod]

Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).

Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów[edytuj | edytuj kod]

Mówi się, że dany zbiór wektorów rozpina przestrzeń liniową jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.

Definicja liniowej niezależności wektorów[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli spośród wektorów rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.

Definicja bazy przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

Bazą przestrzeni nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów , który rozpina przestrzeń .

Twierdzenie o istnieniu bazy[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń liniowa ma bazę.

Dowód: Dowiódł tego Felix Hausdorff na gruncie aksjomatyki Zermela-Fraenkla, w oparciu o lemat Kuratowskiego-Zorna.

Twierdzenie o równoliczności baz[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.

Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).

Definicja wymiaru przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni

Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem

Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej czyli wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru [a].

Uwaga:

Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r)[edytuj | edytuj kod]

Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru[1].

Definicja podprzestrzeni[edytuj | edytuj kod]

Definicja 1:

Niepusty podzbiór przestrzeni liniowej zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
  1. przestrzeń jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
    jeżeli to
  2. przestrzeń jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
    jeżeli to

Definicja 2 (równoważna)

Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).

Wynika stąd, że:

Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenia liniowe[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych oraz nad tym samym ciałem można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z do Są to funkcje zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z do oznaczany sam stanowi przestrzeń liniową nad Jeżeli dane są bazy i przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni na przestrzeń Jeśli istnieje izomorfizm między a to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli jest bazą przestrzeni to jest bazą przestrzeni Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie -wymiarowe nad ciałem są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy lub gdy są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio i oraz i jest odwzorowanie dla

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem to w iloczynie kartezjańskim można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:

dla

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni

Dodatkowe struktury[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.

Przestrzeń liniowa z topologią[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się dodatkowo topologię w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się przestrzeń liniowo-topologiczną, jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez skalarciągłe. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną topologię

Przestrzeń unormowana[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń unormowana - to przestrzeń liniowa nad ciałem lub z dodatkowo zdefiniowaną normą, która określa długość wektorów.

Przestrzeń unitarna[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) - to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym iloczynem skalarnym dla wektorów.

Przestrzeń Banacha / przestrzeń Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń unormowana / unitarną [b], zupełną ze względu na metrykę generowaną przez normę / normę pochodzącą od iloczynu skalarnego - to przestrzeń Banacha / przestrzeń Hilberta. Np. w mechanice kwantowej wektor stanu układu fizycznego definiuje się jako wektor w przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie liniowo-topologiczna[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych, to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię[c] zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe[d].

Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule przestrzenie liniowo-topologiczne. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Algebra nad ciałem[edytuj | edytuj kod]

Algebrą nad ciałem - to przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów.

Uporządkowana przestrzeń liniowa[edytuj | edytuj kod]

Uporządkowana przestrzenią liniową - to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem Dużą część algebry liniowej można uprawiać opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania oraz w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

Alternatywny zestaw aksjomatów[edytuj | edytuj kod]

Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:

Dla dowolnych zachodzi

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy

oraz

skąd wynika, że jest elementem neutralnym i jest elementem przeciwnym do

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest

A więc w szczególności dla dowolnego a zatem zachodzi 9.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Wektory te są liniowo niezależne.
  2. Nad .
  3. Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania.
  4. W sensie topologii produktowej odpowiednio w: i

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.