Macierz wymierna – macierz o wymiarach
której elementami są funkcje wymierne
zmiennej
o współczynnikach z ciała
o postaci
![{\displaystyle W(S)={\begin{bmatrix}w_{11}(s)&w_{12}(s)&\dots &w_{1n}(s)\\w_{21}(s)&w_{22}(s)&\dots &w_{2n}(s)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\w_{11}(s)&w_{11}(s)&\dots &w_{11}(s)\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59ea11223c30be56ba897aa9174c00b20464c8a)
Zbiór macierzy wymiernych o wymiarach
zmiennej
i współczynnikach z ciała
zazwyczaj oznaczany jest przez
Ciałem
może był ciało liczb rzeczywistych, liczb zespolonych, liczb wymiernych lub ciało funkcji wymiernych zmiennej
itp.
Po sprowadzeniu wszystkich elementów
macierzy wymiernej do wspólnego mianownika
o współczynniku równym 1 przy
w najwyższej potędze, powyższą macierz można przedstawić w postaci
![{\displaystyle W(s)={\frac {L(s)}{m(s)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73526a3fd623d9bc9e6ad6a4fdf1b33c4a0e0f20)
gdzie:
– macierz wielomianowa o współczynnikach z ciała ![{\displaystyle F,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed179a16e860b290a2c25c573d3fc0b2360f0fc1)
– wielomian.
Macierz wymierna nieredukowalna[edytuj | edytuj kod]
Niech
Macierz nazwiemy nieredukowalną (nieskracalną) wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle L(s_{k})\neq 0_{mn},k=1,\dots ,p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147f77f678cc000a1e79c7a6812b8af4db6d3f48)
gdzie
jest macierzą zerową o wymiarach
Jeżeli
to wszystkie elementy macierzy
są podzielne przez
i wówczas macierz jest redukowalna przez
Nieredukowalną macierz w takiej postaci nazywamy macierzą w postaci standardowej. Pisząc macierz wielomianową
w postaci wielomianu macierzowego
![{\displaystyle L(s)=L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8756268435ebb87a743619af411a1e4501b60c4)
możemy macierz
zapisać w postaci
![{\displaystyle W(s)={\frac {L_{q}s_{q}+L_{q-1}s_{q-1}+\dots L_{1}s+L_{0}}{m(s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8fcc63e090530e39aa37cef4f68ad706c07c1c2)
Dla macierzy wymiernej
![{\displaystyle W(s)={\begin{bmatrix}{\frac {s}{s-1}}&{\frac {1}{s+2}}&s\\{\frac {2}{s+2}}&{\frac {s+2}{s+1}}&2s\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5ee88c8a38c65c6cd378a8367d890ed583968c)
najmniejszym wspólnym mianownikiem jest
z pierwiastkami:
oraz
Wtedy
możemy zapisać jako
![{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}{\begin{bmatrix}s(s+2)&s+1&s(s+1)(s+2)\\2(s+1)&(s+2)^{2}&2s(s+1)(s+2)\end{bmatrix}}={\frac {L(s)}{m(s)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0f6bf7ec93f15dda85f81497e1c296b80ea133)
Macierz ta jest nieredukowalna, gdyż
![{\displaystyle L(s_{1})={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}},L(s_{2})={\begin{bmatrix}0&-1&0\\-2&0&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d15b901d0eb0f8239af6486156b767ea4d2820c)
Wtedy postać
przyjmuje formę
![{\displaystyle L(s)={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315f013cd90265428eba3c93ead85fa0e930eb1e)
Wobec tego macierz rozważana w przykładzie w postaci
jest równa
![{\displaystyle W(s)={\frac {1}{(s+1)(s+2)}}\left({\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}}s^{3}+{\begin{bmatrix}1&0&3\\0&1&6\end{bmatrix}}s^{2}+{\begin{bmatrix}2&1&2\\2&4&4\end{bmatrix}}s+{\begin{bmatrix}0&1&0\\2&4&0\end{bmatrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41a6501a8c701ed611b537c6c622cdd40e0c841)
Macierz wymierna jest właściwa (lub przyczynowa) wtedy i tylko wtedy, gdy
oraz ściśle właściwą wtedy i tylko wtedy, gdy