Macierze Reesa – obiekty matematyczne ważne w teorii półgrup. Zostały wprowadzone przez Davida Reesa w 1940 roku. Znajdują one zastosowanie przy charakteryzacji półgrup całkowicie 0-prostych, którą daje twierdzenie Reesa.
Niech
i
będą zbiorami oraz niech
będzie grupą. Określimy półgrupę
w następujący sposób. Niech
Oznaczamy
i dla dowolnych
określamy działanie
za pomocą formuły
gdzie
oznacza iloczyn
przez
w grupie
Parę
nazywamy grupą z zerem. Działanie
jest łączne, więc
jest półgrupą. W dalszym ciągu nie będziemy rozróżniać między
a mnożeniem w
Dowolne przekształcenie
nazywamy
-macierzą nad
Wartość pary
przy przekształceniu
oznaczamy symbolem
-macierz
nad grupą z zerem
nazywamy
-macierzą Reesa nad
jeżeli w zbiorze
istnieje dokładnie jedna para
taka że
Przyjmujemy oznaczenie
Niech
będzie dowolną
-macierzą nad półgrupą z zerem
Na zbiorze wszystkich
-macierzy Reesa nad
definiuje się działanie
w następujący sposób
dla dowolnych
i
Działanie
jest łączne, zatem zbiór wszystkich
-macierzy nad Reesa
z działaniem
jest półgrupą. Oznaczamy ją symbolem
Mówimy, że
-macierz
jest regularna, jeżeli
- dla każdego
istnieje
takie że ![{\displaystyle p_{\lambda i}\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08798d92de0cdaddff53e41c4275bd855e88a6b1)
- dla każdego
istnieje
takie że ![{\displaystyle p_{\lambda i}\in G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aaeafc81f20cee680738ca8f287253a90262a23)
Okazuje się, że
jest półgrupą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
jest regularna.
- Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
- Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.