Macierze Reesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierze Reesa – obiekty matematyczne ważne w teorii półgrup. Zostały wprowadzone przez Davida Reesa w 1940 roku. Znajdują one zastosowanie przy charakteryzacji półgrup całkowicie 0-prostych, którą daje twierdzenie Reesa.

Niezbędne pojęcia[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą zbiorami oraz niech będzie grupą. Określimy półgrupę w następujący sposób. Niech Oznaczamy i dla dowolnych określamy działanie za pomocą formuły

gdzie oznacza iloczyn przez w grupie Parę nazywamy grupą z zerem. Działanie jest łączne, więc jest półgrupą. W dalszym ciągu nie będziemy rozróżniać między a mnożeniem w

Dowolne przekształcenie nazywamy -macierzą nad Wartość pary przy przekształceniu oznaczamy symbolem

Definicja[edytuj | edytuj kod]

-macierz nad grupą z zerem nazywamy -macierzą Reesa nad jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jedna para taka że Przyjmujemy oznaczenie

Półgrupy macierzy Reesa[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolną -macierzą nad półgrupą z zerem Na zbiorze wszystkich -macierzy Reesa nad definiuje się działanie w następujący sposób

dla dowolnych i Działanie jest łączne, zatem zbiór wszystkich -macierzy nad Reesa z działaniem jest półgrupą. Oznaczamy ją symbolem

Mówimy, że -macierz jest regularna, jeżeli

  • dla każdego istnieje takie że
  • dla każdego istnieje takie że

Okazuje się, że jest półgrupą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
  • Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.