Metoda WKB

Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.

Niech stacjonarne równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =E\psi .$

Dla $V(x)=0$ rozwiązaniami są fale płaskie dane przez

$\psi =e^{ikx}.$

Dla dowolnego potencjału $V(x)$ można założyć podobną postać funkcji falowej, tzn.

$\psi =e^{iS(x)/\hbar },$

czyli tak, jakby pęd k był lokalny i był funkcją położenia $k(x)=S(x)/x.$

Zakładając ponadto

$S(x)=S_{0}(x)+\hbar S_{1}(x)+...$

i zbierając wyrazy w najniższym rzędzie $\hbar$ otrzymujemy układ równań

$\left({\frac {\partial S_{0}}{\partial x}}\right)^{2}=2m[E-V(x)],$

$i{\frac {\partial ^{2}S_{0}}{\partial x^{2}}}-2{\frac {\partial S_{0}}{\partial x}}{\frac {\partial S_{1}}{\partial x}}=0.$

Z rozwiązaniami

$\psi (x)=Ce^{\pm i\int ^{x}{\sqrt {2m[E-V(x)]}}dx}/{[{2m(E-V(x))}]}^{1/4}\quad E>V(x),$

$\psi (x)=Ce^{\pm \int ^{x}{\sqrt {2m[V(x)-E]}}dx}/{[{2m(V(x)-E)}]}^{1/4}\quad E<V(x).$

Do wyznaczenia pozostają teraz energie, które muszą być dyskretne dla stanów związanych. Niech $x_{1},$ $x_{2}$ będą tzw. punktami powrotu, tzn. punktami których nie mogłaby przekroczyć cząstka klasyczna o znikającej podczas oscylacji energii kinetycznej:

$V(x_{i})=E.$

Na wzór najprostszej kwantyzacji atomu Bohra energie stanów związanych znajdujemy z warunku wartości całki lokalnego pędu $\partial S_{0}(x)/\partial x$ po wymiarze liniowym $x$ oscylatora harmonicznego, zakładając że wszystkie potencjały są w sensie wartości tej całki harmoniczne, tzn.

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{n}-V(x)]}}dx=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{hn}-m\omega ^{2}x^{2}/2]}}dx$

a

$E_{hn}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$ są dokładnymi energiami oscylatora harmonicznego.

Całka ta dla oscylatora daje się łatwo policzyć ponieważ wyraża pole półkola o promieniu proporcjonalnym do energii $E_{hn}$ i otrzymujemy dla dowolnego potencjału:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m[E_{n}-V(x)]}}dx=\pi \hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\quad n=0,1,2...$

Aby otrzymać energie stanów związanych w metodzie WKB należy:

1. Wyznaczyć punkty powrotu jako funkcje energii $E$
2. Obliczyć całkę pędu lokalnego w funkcji energii.
3. Rozwiązać otrzymane równanie na energie $E$ z warunku kwantyzacji.

Literatura

• I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów – mechanika falowa, PWN, 2001.