Funkcja falowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Funkcja falowa \Psi(r,t) - w mechanice kwantowej funkcja położenia r układu w przestrzeni konfiguracyjnej i czasu t, o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera. Funkcja ta opisuje stan kwantowy układu (jednej cząstki lub zespołu cząstek). Jej wartość dla danych wielkości r,t nazywana jest amplitudą prawdopodobieństwa znalezienia układu w położeniu r w chwili t.

Postulat Borna[edytuj | edytuj kod]

Same funkcje falowe i ich wartości nie są bezpośrednio mierzalne. Sens fizyczny funkcji falowej określa postulat Borna: 1) W przypadku pojedynczej cząstki poruszającej się w przestrzeni \mathbb{R}, jeżeli jej funkcja falowa jest unormowana do 1, tzn.

\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(r,t)|^2dr=1

to kwadrat jej modułu |\Psi(r,t)|^2 jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie r w chwili t . 2) W ogólnym wypadku kwadrat modułu |\Psi(r,t)|^2 jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia układu w punkcie r przestrzeni konfiguracyjnej w chwili t.

Faza funkcji falowej[edytuj | edytuj kod]

Jako funkcja o wartościach zespolonych funkcja falowa może być przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy

\Psi(r,t)=|\Psi(r,t)|\cdot e^{i S(r,t)/\hbar}

Faza funkcji falowej nie ma znaczenia fizycznego.

Możliwy jest jednak pomiar różnic wartości faz poszczególnych części funkcji falowej (porównaj efekt Aharonowa-Bohma, gdzie faza funkcji składowej falowej zależy od drogi, jaką dana składowa przemieszczała się w polu magnetycznym).

Wektor stanu w przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Bardziej abstrakcyjny sens matematyczny funkcji falowej wymaga odwołania się do przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb zespolonych, z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako iloczyn wektora z jego sprzężeniem zespolonym; w notacji Diraca iloczyn ten ma postać:

\langle i|i\rangle

gdzie |i\rangle - wektor (tzw. ket), \langle i| - sprzężenie zespolone wektora (tzw. bra); iloczyn skalarny - to bra-ket czyli z j. angielskiego nawias; w ten sposób notacja Diraca jest łatwa do zapamiętania.

Wymiar przestrzeni Hilberta zleży od rodzaju układu kwantowego. Stan układu fizycznego określony jest za pomocą wektora w tej przestrzeni.

Bazę przestrzeni Hilberta można wybrać na wiele sposobów. Jedną z możliwych baz stanowi baza położeniowa, określająca możliwe położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej. Inną bazą jest baza określająca możliwe pędy układu.

Wektor w przestrzeni Hilberta - reprezentujący stan układu kwantowego - można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów bazowych, wprowadzając tym samym współrzędne wektora. Transformacje pomiędzy różnymi bazami odpowiadają zmianie reprezentacji, jak np. zmianie reprezentacji położeniowej na reprezentację pędów. Rozkład wektora w danej bazie pozwala przewidywać wyniki pomiaru odpowiedniej wielkości fizycznej

Mianowicie, dla operatora pomiaru (tzw. obserwabli) odpowiadającego pomiarowi pewnej wielkości fizycznej na układzie kwantowym (np. położenia lub pędu) szczególną rolę odgrywają unormowane do 1 wektory przestrzeni Hilberta, które są wektorami własnymi operatora pomiaru. Kwadrat modułu rzutu wektora stanu na wektor własny takiego operatora (obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego), jest równy prawdopodobieństwu zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym po akcie pomiaru wielkości fizycznej odpowiadającej temu operatorowi. W szczególności operatorem pomiaru może być operator położenia, określający położenie układu w przestrzeni. Współrzędne wektora stanu wyrażonego w bazie stanów własnych operatora położenia są wartościami funkcji falowej, obliczonej w odpowiednich położeniach.

Aby zilustrować powyżej omówiony formalizm rozważmy przypadek, gdy wielkości mierzone są dyskretne. Wtedy wektora stanu zapisuje się następująco (w notacji Diraca):

|\Psi(t)\rangle=\sum_i |i\rangle\langle i|\Psi(t\rangle

gdzie |i\rangle są wektorami własnymi wybranego operatora pomiaru \hat O, tj.

\hat O |i\rangle=o_i|i\rangle

zaś o_i są wartościami, jakie można uzyskać. Wielkości P_i(t)= |\langle i|\Psi(t\rangle|^2 określają prawdopodobieństwa otrzymania wartości o_i w pomiarze.

Jeżeli operator \hat O jest operatorem położenia (\hat O\equiv \hat R), to zamiast sumy w powyższym wzorze jest całka; wektory własne operatora położenia oznacza się jako |r\rangle, wielkościami mierzonymi są położenia r; wartości funkcji falowej są równe iloczynom skalarnym wektora stanu z wektorem |r\rangle

\Psi(r,t)=\langle r|\Psi(t\rangle,

zaś prawdopodobieństwo otrzymania układu w położeniu r wynosi P_r(t)= |\langle r|\Psi(t\rangle|^2

Interpretacje znaczenia funkcji falowej[edytuj | edytuj kod]

Według interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, tom I.