Funkcja falowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Funkcja falowa - w mechanice kwantowej funkcja położenia układu cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej i czasu , o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera. Funkcja ta opisuje stan kwantowy układu cząstek bezspinowych. Jej wartość dla danych wielkości nazywana jest amplitudą prawdopodobieństwa znalezienia układu w położeniu w chwili .

W przypadku cząstek ze spinem funkcja falowa ma postać spinora.

Postulat Borna[edytuj]

Same funkcje falowe i ich wartości nie są bezpośrednio mierzalne. Sens fizyczny funkcji falowej określa postulat Borna:

1) W przypadku pojedynczej cząstki bez spinu poruszającej się w przestrzeni funkcja falowa przypisuje położeniu cząstki w chwili liczbę zespoloną taką że:

Kwadrat modułu ma sens gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie w chwili , przy czym funkcja falowa musi być unormowania do 1, tzn.

.

2) W wypadku dla układu cząstek bez spinu kwadrat modułu jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia układu w punkcie przestrzeni konfiguracyjnej w chwili , przy czym np. konfigurację określa wektor , gdzie jest wektorem położenia -tej cząstki w przestrzeni fizycznej w chwili .

3) W przypadku pojedynczej cząstki poruszającej się w przestrzeni , posiadającej dodatkowo spin 1/2 (np. elektron), funkcję falową można zapisać w postaci wektora (ściśle - spinora) o dwóch składowych, odpowiadających ustawieniu spinu zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym i przeciwnie do niego

przy czym np. kwadrat modułu jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili w punkcie ze spinem skierowanym zgodnie z polem magnetycznym.

4) W przypadku dwóch cząstek poruszających się w przestrzeni , o spinie 1/2 (np. 2 elektrony), funkcję falową można zapisać w postaci

przy czym kwadrat modułu jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia obu cząstek w chwili w punkcie ze spinem skierowanym zgodnie z polem magnetycznym, itd.

5) Ogólnie, dla układu cząstek o spinie funkcja falowe będzie miała składowych zespolonych, określających wszystkie możliwe ułożenia spinu względem zewnętrznego pola.

Funkcja falowa może być charakteryzowana dodatkowo przez inne liczby kwantowe, np. izospin, itp.

Faza funkcji falowej[edytuj]

Jako funkcja o wartościach zespolonych funkcja falowa może być przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy

Faza funkcji falowej nie ma znaczenia fizycznego.

Możliwy jest jednak pomiar różnic wartości faz poszczególnych części funkcji falowej (porównaj efekt Aharonowa-Bohma, gdzie faza funkcji składowej falowej zależy od drogi, jaką dana składowa przemieszczała się w polu magnetycznym).

Wektor stanu w przestrzeni Hilberta[edytuj]

Bardziej abstrakcyjny sens matematyczny funkcji falowej wymaga odwołania się do przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb zespolonych, z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako iloczyn wektora z jego sprzężeniem zespolonym; w notacji Diraca iloczyn ten ma postać:

gdzie - wektor (tzw. ket), - sprzężenie zespolone wektora (tzw. bra); iloczyn skalarny - to bra-ket czyli z j. angielskiego nawias; w ten sposób notacja Diraca jest łatwa do zapamiętania.

Wymiar przestrzeni Hilberta zależy od rodzaju układu kwantowego. Stan układu fizycznego określony jest za pomocą wektora w tej przestrzeni.

Bazę przestrzeni Hilberta można wybrać na wiele sposobów. Jedną z możliwych baz stanowi baza położeniowa, określająca możliwe położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej. Inną bazą jest baza określająca możliwe pędy układu.

Wektor w przestrzeni Hilberta - reprezentujący stan układu kwantowego - można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów bazowych, wprowadzając tym samym współrzędne wektora. Transformacje pomiędzy różnymi bazami odpowiadają zmianie reprezentacji, jak np. zmianie reprezentacji położeniowej na reprezentację pędów. Rozkład wektora w danej bazie pozwala przewidywać wyniki pomiaru odpowiedniej wielkości fizycznej

Mianowicie, dla operatora pomiaru (tzw. obserwabli) odpowiadającego pomiarowi pewnej wielkości fizycznej na układzie kwantowym (np. położenia lub pędu) szczególną rolę odgrywają unormowane do 1 wektory przestrzeni Hilberta, które są wektorami własnymi operatora pomiaru. Kwadrat modułu rzutu wektora stanu na wektor własny takiego operatora (obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego), jest równy prawdopodobieństwu zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym po akcie pomiaru wielkości fizycznej odpowiadającej temu operatorowi.

Funkcję falową otrzymujemy w szczególnym przypadku, gdy operatorem pomiaru jest operator położenia, określający położenie układu w przestrzeni: współrzędne wektora stanu wyrażonego w bazie stanów własnych operatora położenia nazywa się wartościami funkcji falowej, obliczonej w odpowiednich położeniach.

Aby zilustrować powyżej omówiony formalizm rozważmy przypadek, gdy wielkości mierzone są dyskretne. Wtedy wektora stanu zapisuje się następująco (w notacji Diraca):

gdzie są wektorami własnymi wybranego operatora pomiaru , tj.

zaś są wartościami, jakie można uzyskać. Wielkości określają prawdopodobieństwa otrzymania wartości w pomiarze.

Jeżeli operator jest operatorem położenia (), to zamiast sumy w powyższym wzorze jest całka; wektory własne operatora położenia oznacza się jako , wielkościami mierzonymi są położenia ; wartości funkcji falowej są równe iloczynom skalarnym wektora stanu z wektorem

,

zaś prawdopodobieństwo otrzymania układu w położeniu wynosi

Interpretacje znaczenia funkcji falowej[edytuj]

Według interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Bibliografia[edytuj]

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, tom I.