Miara bezatomowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.


Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego -mierzalnego zbioru można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów taką, że

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego takiego, że i dla każdej liczby rzeczywistej istnieje taki podzbiór , że .

Skąd można wnioskować, że przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą określona na nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru takiego, że , istnieje taki, że . Przez oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]