Miara bezatomowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.


Własności[edytuj]

Dla każdego -mierzalnego zbioru można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów taką, że

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego takiego, że i dla każdej liczby rzeczywistej istnieje taki podzbiór , że .

Skąd można wnioskować, że przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie[edytuj]

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja[edytuj]

Niech będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą określona na nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru takiego, że , istnieje taki, że . Przez oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]