Miara (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby.

Miara – to funkcja określająca „wielkości” podzbiorów ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb tak, że:

1) miara dowolnego podzbioru jest liczbą nieujemną,

2) miara zbioru pustego = 0

3) miara sumy zbiorów rozłącznych jest równa sumie miar, przypisanych każdemu zbiorowi sumy z osobna.

Pojęcie miary wyrosło z ogólnego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue'a nad jego miarą.

Na danym zbiorze można określać różne miary, np. 1) ilość elementów zbioru posiadających pewną cechę, 2) prawdopodobieństwo wystąpienia pewnego zdarzenia losowego (zdarzeniu losowemu odpowiada pewien podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych, a miara prawdopodobieństwa przypisuje temu podzbiorowi liczbę), 3) czy dany podzbiór zawiera ustalony element (miara Diraca), itp.

Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej.

Czasem jest niemożliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego w definicji miary bierze się pod uwagę zbiory należące do σ-algebry danego zbioru.

Własnościami miar zajmuje się teoria miary, będąca gałęzią analizy matematycznej. (Teoria miary bada σ-algebry, miary, funkcje mierzalne oraz całki.)

Definicja[edytuj]

Niech \mathcal{F} będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru \,\Omega. Funkcję

\mu\colon \mathcal{F}\to [0,\infty]

nazywamy miarą, gdy

  • \mu(\varnothing)=0
  • \mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n )=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych A_1, A_2, A_3, \ldots \in\mathcal{F}.

Parę (\Omega, \mathcal{F}) nazywamy przestrzenią mierzalną, natomiast trójkę (\Omega, \mathcal{F}, \mu) - przestrzenią z miarą.

Miary, które spełniają warunek

\mu(\Omega)=1\,

nazywamy miarami probabilistycznymi. Miary tego rodzaju są zasadniczym pojęciem w nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa.

Miara \mu określona jest na zbiorach sigma-ciała \mathcal F , a nie na dowolnych podzbiorach przestrzeni \Omega - w ten sposób unika się problemu z miarą na zbiorach niemierzalnych w \Omega, jak np. zbiór Vitalego.

Elementy σ-ciała \mathcal F nazywa się zbiorami \mu-mierzalnymi względem \mathcal F.

Własności[edytuj]

Niech (\Omega, \mathcal{F}, \mu) będzie przestrzenią z miarą oraz niech A_1, A_2, A_3, \ldots ciągiem elementów w \mathcal{F}.

  • Monotoniczność: Jeśli A,B\in \mathcal{F} oraz A\subseteq B, to \mu(A)\leq \mu(B)
  • Podaddytywność:
\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty~A_n\right) \leqslant \sum_{n=1}^\infty~\mu(A_n).
  • Jeżeli A,B\in \mathcal{F},\, A\subseteq B oraz \mu(B)<\infty, to
\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A).
  • Ciągłość z dołu: jeśli A_i\subseteq A_{i+1} dla każdej liczby i, to
\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty~A_n\right) = \lim_{n \to \infty}~\mu(A_n).
  • Ciągłość z góry : jeśli A_{n+1}\subseteq A_{n} oraz \mu(A_1)<\infty, to
\mu\left(\bigcap_{n=1}^\infty~A_n\right) = \lim_{n \to \infty}~\mu(A_n).

Powyższa własność jest fałszywa bez założenia o skończoności miary przynajmniej jednego zbioru A_n - istotnie, niech

 A_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb R,

wszystkie zbiory A_i są miary nieskończonej, ale

\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\varnothing.

Miary σ-skończone[edytuj]

 Osobny artykuł: miara σ-skończona.

Jeśli (\Omega, \mathcal{F}, \mu) jest przestrzenią z miarą, to miarę \mu nazywa się

  • skończoną, gdy \mu(\Omega) < \infty.
  • σ-skończoną (albo półskończoną), gdy istnieje ciąg zbiorów A_n \in \mathcal{F}\ (n \in \mathbb N) takich, że \mu(A_n) < \infty oraz
\Omega = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.

Innymi słowy, miara σ-skończona umożliwia przedstawienie przestrzeni, na której jest określona, jako przeliczalnej sumy zbiorów miary skończonej.

Przykłady:

1) Miara Lebesgue'a jest miarą σ-skończoną. Istotnie,

\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^\infty[-n, n],

gdzie każdy przedział postaci [-n, n] jest oczywiście długości (miary) n-(-n)=2n.

2) Jeżeli \mu jest miarą liczącą na prostej (tj. miarą przypisującą skończonym podzbiorom zbioru liczb rzeczywistych liczbę ich elementów, a zbiorom nieskończonym\infty”), to \mu nie jest miarą σ-skończoną. Istotnie, zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny - żadnego zbioru nieprzeliczalnego nie da się przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów skończonych.

Miary, które nie są σ-skończone, uznawane są, w pewnym sensie, za patologiczne.

Zupełność[edytuj]

 Osobny artykuł: miara zupełna.

Miarę nazywa się zupełną, gdy każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny, a więc w konsekwencji miary zero. Nie każda miara jest zupełna - na przykład, miara Lebesgue'a obcięta do σ-ciała borelowskich podzbiorów prostej nie jest zupełna. Można to uzasadnić korzystając z następujących faktów:

Podzbiory zbiorów miary zero, nazywane są zbiorami zaniedbywalnymi. Twierdzenie Carathéodory'ego o rozszerzaniu miary mówi, że każdą miarę można rozszerzyć do miary (określonej na większym σ-ciele, rozszerzonym o zbiory zaniedbywalne), która jest zupełna (tzw. uzupełnienie miary). Miara Lebesgue'a na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest uzupełnieniem miary Lebesgue'a na rodzinie zbiorów borelowskich.

Przykłady[edytuj]

Do innych ważnych przykładów zalicza się miary: borelowską, Jordana, ergodyczną, Eulera, Gaussa, Baire'a oraz Radona.

Zbiory niemierzalne[edytuj]

 Osobny artykuł: zbiór niemierzalny.

Zbiorami niemierzalnymi względem sigma-ciała \mathcal{F} przestrzeni mierzalnej (\Omega, \mathcal{F}) nazywamy podzbiory zbioru \Omega, które nie należą do \mathcal{F}.

Pod pojęciem zbiorów niemierzalnych matematycy mają na myśli najczęściej zbiory, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a.

Rodzinę \mathcal{L} zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a najczęściej opisuje się jako rodzinę tych podzbiorów prostej, które spełniają warunek Caratheodory'ego dla miary zewnętrznej Lebesgue'a. Naturalnym pytaniem matematyków było więc czy wszystkie podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a?. Okazuje się, że nie można udzielić odpowiedzi na to pytanie używając tylko aksjomatyki Zermelo-Fraenkela (bez aksjomatu wyboru). Zakładając aksjomat wyboru można jednak udowodnić istnienie niemierzalnych podzbiorów prostej; do takich zbiorów należą:

Można wykazać (zakładając aksjomat wyboru), że każdy zbiór dodatniej miary Lebesgue'a zawiera podzbiór niemierzalny.

Uogólnienia[edytuj]

Rozważa się również „miary”, których wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych i nieskończoności. Dla przykładu przeliczalnie addytywna funkcja w cały zbiór liczb rzeczywistych jest nazywana miarą ze znakiem, z kolei taką funkcję o wartościach w liczbach zespolonych nazywa się miarą zespoloną. Uważnie badano miary przyjmujące wartości w przestrzeniach Banacha. Miara, która przyjmuje wartości w zbiorze samosprzężonych rzutów na przestrzeń Hilberta nazywana jest miarą spektralną; są one używane głównie w twierdzeniu spektralnym analizy funkcjonalnej.

Jeżeli zachodzi potrzeba odróżnienia zwykłej miary przyjmującej wartości nieujemne od jednego z jej uogólnień, to używa się zwykle pojęcia „miara dodatnia”.

Innym uogólnieniem jest miara skończenie addytywna. Jest ona tym samym co zwykła miara z wyjątkiem wymagania tylko skończonej zamiast przeliczalnej addytywności. Chronologicznie definicja ta pojawiła się pierwsza, ale szybko stwierdzono, że jest ona mało użyteczna. Miary skończenie addytywne są jednak powiązane z takimi pojęciami jak: granice Banacha, przestrzeń dualna do L oraz uzwarcenie Čecha-Stone’a. Wszystkie wspomniane pojęcia są zaś powiązane w pewien sposób z aksjomatem wyboru.

Ważny wynik geometrii całkowej (twierdzenie Hadwigera) mówi, że przestrzeń funkcji niezmienniczych ze względu na przesunięcia, skończenie addytywnych, niekoniecznie nieujemnych zbiorów określona na skończonej sumie zwartych zbiorów wypukłych w \mathbb R^n składa się (z dokładnością do mnożenia skalarnego) z jednej „miary”, która jest „jednorodna stopnia k” dla każdego k = 0, 1, 2, \dots, n i kombinacji liniowych tych „miar”. „Jednorodna stopnia k” oznacza, że skalowanie dowolnego zbioru przez dowolny współczynnik c>0 mnoży „miarę” zbioru przez c^k. Jednorodną stopnia n jest n-wymiarowa objętość, jednorodną stopnia n-1 jest hiperpłaszczyzna, a jednorodną stopnia 1 jest tajemnicza funkcja nazywana „błędną szerokością” (przekorna nazwa), jednorodną stopnia zero jest charakterystyka Eulera.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • R. Duncan Luce i Louis Narens (1987). „measurement, theory of,” The New Palgrave: A Dictionary of Economics, t. 3, s. 428-32.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E. i Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, tł. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Akcentuje całkę Daniella.
  • Pewne użyteczne notatki Tripos Cambridge na temat prawdopodobieństwa i teorii miary link
  • A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, PWN, Warszawa 1986.