Miara zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara zupełnamiara określona na przestrzeni mierzalnej o tej własności, że

  • dla każdego takiego zbioru , że oraz .

Innymi słowy, miara jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Twierdzenie o rozszerzeniu miary mówi, że dla każdej miary określonej na przestrzeni mierzalnej istnieje taka miara zupełna określona na najmniejszym σ-ciele zawierającym i wszystkie podzbiory zbiorów miary -zero, która pokrywa się z na .

Przykłady[edytuj]

  • Miara Lebesgue'a i miara Dieudonnégo są zupełne.
  • Przykładem miary, która nie jest zupełna jest miara Lebesgue'a obcięta do rodziny zbiorów borelowskich na prostej.
  • Miara produktowa miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli jest niemierzalnym podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue'a ), to zbiór zawarty jest w zbiorze dla którego , ale sam zbiór nie jest -mierzalny.