Pierścień Witta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień Wittapierścień o strukturze przekształconej w zbiór wektorów w taki sposób, że pierścień wektorów nad skończonym ciałem o charakterystyce jest pierścieniem liczb p-adycznych. Nazwa pochodzi od Ernsta Witta, który jako pierwszy dokonał takiego przekształcenia.

Konstrukcja[edytuj]

Weźmy liczbę pierwszą . Wektor Witta nad pierścieniem przemiennym jest ciągiem elementów .

Zdefiniujmy wielomiany Witta w następujący sposób:

i ogólnie

Następnie Witt pokazał, że istnieje metoda przekształcenia dowolnego przemiennego pierścienia R w tzw. pierścień wektorów Witta, taki że:

  • suma i iloczyn są dane przez wielomiany ze współczynnikami, które nie zależą od ,
  • każdy wielomian Witta jest homomorfizmem z pierścienia wektorów Witta nad w .

Pierwsze kilka wielomianów określających sumę i iloczyn wektorów Witta zostało podane poniżej:

(X0, X1,...) + (Y0, Y1,...) = (X0+Y0, X1 + Y1 + (X0p + Y0p − (X0 + Y0)p)/p, ...)
(X0, X1,...) × (Y0, Y1,...) = (X0Y0, X0pY1 + Y0pX1 + p X1Y1, ...)