Liczby p-adyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W matematyce p-adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej p stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia "bliskości" czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby p-adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę p. Ta własność sprawia, że liczby p-adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata odkrytym przez Andrew Wilesa.

Liczby p-adyczne zostały po raz pierwszy opisany przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż niejawne odwołania do nich można znaleźć także we wcześniejszych pracach Kummera. Hensel zajmował się nimi, gdyż chciał przenieść techniki stosowane normalnie wobec szeregów potęgowych do teorii liczb. Obecnie wpływ liczb p-adycznych wykracza szeroko poza samą teorię liczb. Dla przykładu, analiza p-adyczna jest alternatywą dla klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego.

Formalniej, dla ustalonej liczby p, ciało Qp liczb p-adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach p-adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w Qp. Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby p-adyczne są takie użyteczne.

Rozwinięcia p-adyczne[edytuj]

Jeżeli ustalimy liczbę pierwszą p, to każda dodatnia liczba całkowita może zostać zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie p jako {\textstyle \sum_{i=0}^n a_ip^i}, gdzie całkowite liczby {\textstyle a_i} spełniają nierówności {\textstyle 0 \le a_i \le p- 1}. Dla przykładu, możemy rozwinąć {\textstyle 35} jako {\textstyle 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0}. Podobne rozwinięcia istnieją także dla liczb wymiernych (oraz rzeczywistych), musimy jednak dopuścić sumy o nieskończenie wielu składnikach oraz sumy ujemne, czyli

\pm \sum_{i = -\infty}^n a_ip^i.

Precyzyjne określenie, czym są te nieskończone sumy, opiera się na ciągach Cauchy'ego oraz wartości bezwzględnej jako metryki. Liczby p-adyczne również definiuje się przy pomocy nieskończonych sum. "Wielkość" liczby naturalnej określa jej odległość od zera na osi liczbowej, podczas gdy "wielkość" liczby p-adycznej zależy od tego, jak bardzo jest podzielna przez potęgi p (im liczba bardziej podzielna, tym mniejsza). Rozpatrzmy szeregi {\textstyle \sum_{i=k}^\infty a_ip^i}, gdzie {\textstyle k} jest niekoniecznie dodatnią liczbą całkowitą, zaś {\textstyle a_i} to cyfry p-adyczne, czyli rozwinięcia p-adyczne liczb p-adycznych. Te liczby, dla których a_i = 0 dla {\textstyle i < 0}, nazywamy p-adycznymi liczbami całkowitymi (dla odróżnienia od całkowitych liczb wymiernych, to jest elementów zbioru \Z). Zbiór wszystkich całkowitych liczb p-adycznych oznacza się przez {\textstyle \Z_p}, czego nie należy mylić z pierścieniem liczb całkowitych modulo p (ten będziemy oznaczać przez {\textstyle \Z/p\Z}).

Chociaż można w ten sposób zdefiniować liczby p-adyczne i badać ich własności (jak robi się to z liczbami przeczywistymi), matematycy preferują inne podejścia. Dwie różne i równoważne konstrukcje przedstawione są w następnej sekcji.

Konstrukcja[edytuj]

Podejście analityczne[edytuj]

Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako klasy a p, definiujemy p-adyczną wartość bezwzględną na Q w następujący sposób: dla liczby wymiernej {\textstyle x} różnej od zera istnieje dokładnie jedna liczba całkowita n taka, że

x = p^n \cdot \frac ab,

gdzie żadna z liczb a,b nie dzieli się przez p. Określamy {\textstyle |x|_p = p^{-n}} oraz {\textstyle |0|_p = 0}. Z taką wartością bezwzględną duże potęgi p stają się "małe". Twierdzenie Ostrowskiego orzeka, że każda z wartości bezwzględnych na Q jest równoważna z euklidesową, trywialną lub pewną p-adyczną dla ustalonej liczby p.

Z p-adyczną wartością bezwzględną można związać metrykę na Q zadaną wzorem {\textstyle d_p(x,y) = |x-y|_p}. Ciało Qp stanowi uzupełnienie ciała liczb wymiernych względem tej metryki. Można pokazać, że każdy element {\textstyle x \in \mathbb Q_p} przedstawia się w postaci szeregu

\sum_{i=k}^\infty a_ip^i,

gdzie k jest pewną liczbą całkowitą, dla której {\textstyle a_k = 0}, zaś wszystkie cyfry a_i należą do zbioru \{0, 1, \ldots, p-1\}. Z p-adyczną wartością bezwzględną ciałoło Qp jest ciałem lokalnym.

Podejście algebraiczne[edytuj]

W podejściu algebraicznym definiujemy najpierw pierścień liczb p-adycznych. Na jego podstawie konstruuje się ciało ułamków, czyli dokładnie Qp, ciało liczb p-adycznych. Zaczynamy od granicy odwrotnej pierścieni Z/pnZ: całkowitą liczbą p-adyczną jest wtedy ciąg (an)n≥1 taki, że an należy do Z/pnZ, zaś nm pociąga anam (mod pn). Każda liczba naturalna m definiuje taki ciąg (an) przez an = m mod pn, a zatem może być traktowana jako p-adyczna liczba całkowita. Dla przykładu, liczba 35 jako 2-adyczna całkowita byłaby zapisana jako ciąg (1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35, …).

Działania w pierścieniu sprowadzają się do punktowego dodawania oraz mnożenia ciągów. Jest to poprawna definicja, bowiem wzięcie reszty z dzielenia oraz sumy (lub iloczynu) w różnej kolejności nie ma wpływu na wynik. Co więcej, każdy ciąg, którego pierwszym wyrazem nie jest zero, jest odwracalny. W takim przypadku dla każdego n, an oraz p są względnie pierwsze, a z tego względu również an i pn. Oznacza to, że istnieje element odwrotny do an modulo pn. Ciąg tych odwrotności, (bn), jest poszukiwanym elementem odwrotnym do (an).

Dla przykładu, rozpatrzmy 2-adyczną liczbę całkowitą odpowiadającą siódemce: (1, 3, 7, 7, 7, 7, 7, ...). Odwrotność tego ciągu można zapisać jako niemalejący ciąg, którego początkiem jest (1, 3, 7, 7, 23, 55, 55, 183, 439, 439, 1463 ...). Oczywiście nie odpowiada on żadnej liczbie naturalnej, gdyż w pierścieniu Z liczb całkowitych jedynymi elementami odwracalnymi są 1 i -1.

W pierścieniu całkowitych liczb p-adycznych nie ma żadnych dzielników zera, więc możemy zbudować jego ciało ułamków, Qp. W ciele tym każda niezerowa liczba p-adyczna zapisuje się jednoznacznie jako pnu, gdzien jest naturalna, zaś u to jedność. Mamy więc prawo napisać

\Q_p=\operatorname{Quot} \left(\Z_p\right)\cong (p^{\N})^{-1} \Z_p.

Zbiór S−1A, gdzie S=p^{\N}=\{p^{n}:n\in\N\} jest podzbiorem multiplikatywnym (zawiera jedynkę i jest zamknięty na mnożenie) przemiennego pierścienia z jedynką, to algebraiczna konstrukcja zwana pierścieniem ułamków lub lokalizacją A przez S.

Własności[edytuj]

Moc zbioru[edytuj]

Zp jest granicą odwrotną skończonych pierścieni Z/pkZ, która sama jest nieprzeliczalna - dokładniej, jest równoliczna ze zbiorem liczb rzeczywistych (jest mocy continuum). Co za tym idzie, ciało Qp również jest nieprzeliczalne. Pierścień endomorfizmów p-grupy Prüfera rangi n, standardowo oznaczany przez Z(p)n, jest pierścieniem macierzy n × n nad Zp; czasami nazywa się go również modułem Tate'a.

Zastosowania[edytuj]

Liczby p-adyczne są bardzo ważne w teorii liczb, gdzie pomagają rozwiązywać równania diofantyczne i klasyfikować formy kwadratowe nad ciałem liczb wymiernych (zasada lokalno-globalna Minkowskiego-Hasse). Dowód hipotezy Weila o wymierności \zeta-funkcji rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi, podany przez B. Dworka[1] w 1960, wykorzystywał analizę p-adyczną (funkcje p-adyczne, ich pochodne i całki).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Bernard Dwork: On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. Amer. J. Math. 82, 1960.

Bibliografia[edytuj]

  1. Władysław Narkiewicz: Teoria liczb. PWN, 1977.
  2. Neal Koblitz: p-Adic Numbers, p-Adic Analysis, and Zeta-Functions. Springer, 1977.