Pierścień trywialny

Pierścień trywialny – pierścień określony na jednoelementowym zbiorze.

Definicja

Pierścień $(R,+,\cdot )$ nazywamy trywialnym, gdy jest on określony na jednoelementowym zbiorze $R=\{r\}.$

Wówczas z definicji pierścienia działania w tym pierścieniu są określone następująco:

$r+r=r,$

$r\cdot r=r.$

Własności

• Pierścień trywialny jest jedynym pierścieniem, w którym elementy neutralne dodawania i mnożenia są sobie równe: $r=0=1.$ Co więcej pierścień $R$ jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy elementy neutralne obu działań tego pierścieni są sobie równe. Mamy: $\forall _{r\in R}\;r=r\cdot 1=r\cdot 0=0.$
• Pierścienie trywialne są przemienne.
• Pierścienie trywialne są jedynymi skończonymi pierścieniami uporządkowanymi.

Zobacz też

• pierścień zerowy
• teoria pierścieni