Pochodną zupełną funkcji wielu zmiennych zależnych od jednej zmiennej niezależnej nazywa się wyrażenie:
przy czym:
- zmienne są tzw. zmiennymi zależnymi, bo są zależne zadanymi funkcjami od jednej zmiennej niezależnej tj.
- – pochodne cząstkowe względem
- – pochodne zmiennych zależnych względem zmiennej niezależnej.
Załóżmy, że jest funkcją dwóch zmiennych, i Zazwyczaj zmienne te traktuje się jako niezależne. Jednak w pewnych sytuacjach jedna zmienna może być zależna od drugiej. Np. związane jest z gdy ograniczamy dziedzinę funkcji do pewnej krzywej w W tym wypadku zmiana wartości funkcji związana ze zmianą wyraża się poprzez pochodną zupełną.
(1) Niech będzie dana funkcja:
oraz załóżmy, że ograniczamy się do dziedziny, takiej że:
(2) Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej:
Jednak ponieważ zależy od to zmiana powoduje także zmianę a tym samym zmianę funkcji.
(3) Podstawiając zależność do funkcji, otrzyma się funkcję jednej zmiennej
Obliczając pochodną funkcji względem, otrzymamy:
(4) Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji
(5) Widać stąd, że:
- aby obliczyć zmianę funkcji wielu zmiennych, takich że są one zależne od jednej zmiennej niezależnej, to można obliczyć pochodną zupełną – obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.
Mnożąc pierwsze równanie przez różniczkową zmianę zmiennej niezależnej otrzyma się:
Wielkość nazywa się różniczką zupełną funkcji związaną z różniczkową zmianą zmiennej niezależnej
- W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
- I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.brak strony w książce