Pochodna funkcji
w punkcie
albo różniczka funkcji
w punkcie
to przekształcenie liniowe
będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji
w punkcie
W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci
ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum.
Niech
będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
jeżeli istnieje przekształcenie liniowe
takie, że
[1]
Przekształcenie liniowe
nazywamy pochodną funkcji
w punkcie
albo różniczką funkcji
w punkcie
i oznaczamy
lub podobnie.
Równoważnie funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:

gdzie reszta
ma własność

Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.
W przypadku funkcji
tradycyjnie rozróżnia się pochodną funkcji i różniczkę funkcji. W przypadku funkcji
literatura matematyczna z reguły nie rozróżnia tych terminów i stosuje je wymiennie. Przykładowo Michael Spivak w Analizie na rozmaitościach przekształcenie liniowe
z powyższej definicji oznacza
i nazywa pochodną (ang. derivative) funkcji
w punkcie
, podczas gdy Wojciech Wojtyński w Grupach i Algebrach Liego oznacza je
i nazywa różniczką funkcji
w punkcie
. Wojciech Wojtyński pochodną funkcji różniczkowalnej
nazywa funkcję
z
w przestrzeń przekształceń liniowych z
w
daną wzorem

Pochodna zupełna to termin, który pojawia się w literaturze fizycznej oznaczający tam pochodną złożenia
, postaci

i podobnych złożeń. Pochodna tego złożenia jest równa

W notacji fizycznej powyższy wzór jest zapisywany

lub podobnie.
Niech
będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie
Funkcja różniczkowalna
indukuje odwzorowanie
z
w przestrzeń przekształceń liniowych z
w
dane wzorem

które nazywamy pochodną funkcji
albo różniczką funkcji
- Różniczka jest operatorem liniowym:


- o ile złożenia mają sens.
- Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
to

- gdzie po prawej stronie stoi pochodna kierunkowa.
Różniczka jest (z definicji) przekształceniem liniowym, a zatem jest sens rozważać jej macierz. Jeżeli
gdzie
to złożenia rzutowań
z funkcją
to macierz różniczki
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}\left[Df_{1}(a)\right]\\\vdots \\\left[Df_{m}(a)\right]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a42152b5c836a34ec31629b2e7d83d92e3956b2)
Jeżeli
jest różniczkowalna w punkcie
to macierz jej różniczki w bazie standardowej
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb72970781ecf3930300b6d1634cb8d5ac060d86)
Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
to macierz jej różniczki w bazach standardowych
i
jest postaci
![{\displaystyle [Df(a)]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8caec2bd622a90d9e2ff6711650137b7066498)
Reguła łańcuchowa przenosi się na macierz różniczki:
![{\displaystyle [D(f\circ g)(a)]=[Df(g(a))]\cdot [Dg(a)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e1a855c1073cc42f6194310fc5e972f2b063e0)
(1) Rozważmy funkcję
daną wzorem

Jej różniczka ma w bazach standardowych macierz
![{\displaystyle [Df(x,y)]={\begin{bmatrix}2xy^{3}&3x^{2}y^{2}\\2xy&x^{2}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d1745de7b43e3c55b3b08e2833a5277132c964)
i jest dana wzorem

(2) Jeżeli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
to jej różniczka w tym punkcie jest dana wzorem

(3) Przykładowo różniczka funkcji
danej wzorem

jest dana wzorem

i w punkcie
na wektorze
wynosi

(4) Niech
oznaczają rzutowania na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn.

Rzutowania są funkcjami różniczkowalnymi i ich różniczki są dane wzorem

dla każdego
(5) Łącząc punkt (2) i (4) widzimy, że różniczkę funkcji
(jeżeli istnieje) możemy zapisać w postaci

(dla prostoty oznaczeń piszemy
zamiast
).
(6) Oznaczając pochodną funkcji
w punkcie
przez
a pochodne
przez
możemy nadać wzorowi z poprzedniego punktu klasyczną formę

(7) W przypadku funkcji
wzór z poprzedniego punktu sprowadza się do wzoru

W przypadku funkcji
pojęcia pochodnej (w elementarnym sensie) i różniczki różnią się. Jest to jednak różnica tylko pozorna, gdyż każdej pochodnej
odpowiada różniczka
a każdej różniczce
odpowiada pochodna
Pochodna funkcji
ma wiele daleko idących uogólnień. Są to m.in. pochodna Frecheta i pochodna Gateaux. W przypadku gdy m=1 (tzn. w przypadku funkcji
) pochodna ma bardzo głębokie uogólnienie w postaci
-formy różniczkowej.
- Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce
- ↑ Spivak definiuje pochodną wzorem
jednakże norma w liczniku jest redundantna, ponieważ w przestrzeniach unormowanych