Pochodna zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodną zupełną funkcji wielu zmiennych zależnych od jednej zmiennej niezależnej nazywa się wyrażenie

przy czym

  • zmienne są tzw. zmiennymi zależnymi, bo są zależne zadanymi funkcjami od jednej zmiennej niezależnej tj.
  • pochodne cząstkowe względem
  • – pochodne zmiennych zależnych względem zmiennej niezależnej

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest funkcją dwóch zmiennych, i Zazwyczaj zmienne te traktuje się jako niezależne. Jednak w pewnych sytuacjach jedna zmienna może być zależna od drugiej. Np. związane jest z gdy ograniczamy dziedzinę funkcji do pewnej krzywej w W tym wypadku zmiana wartości funkcji związana ze zmianą wyraża się poprzez pochodną zupełną

Przykład[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech będzie dana funkcja

oraz załóżmy, że ograniczamy się do dziedziny, takiej że

(2) Zmiana funkcji spowodowana zmianą zmiennej jest dana za pomocą pochodnej cząstkowej

Jednak ponieważ zależy od to zmiana powoduje także zmianę a tym samym zmianę funkcji.

(3) Podstawiając zależność do funkcji, otrzyma się funkcję jednej zmiennej

Obliczając pochodną funkcji względem, otrzymamy

(4) Zamiast tego można obliczyć pochodną zupełną funkcji

(5) Widać stąd, że:

Aby obliczyć zmianę funkcji wielu zmiennych, takich że są one zależne od jednej zmiennej niezależnej, to można obliczyć pochodną zupełną – obliczanie pochodnej zupełnej pozwala pominąć etap podstawiania zależności funkcyjnych zmiennych zależnych od zmiennej niezależnej do wyrażenia na funkcję wielu zmiennych.

Różniczka zupełna funkcji[edytuj | edytuj kod]

Mnożąc pierwsze równanie przez różniczkową zmianę zmiennej niezależnej otrzyma się

Wielkość nazywa się różniczką zupełną funkcji związaną z różniczkową zmianą zmiennej niezależnej

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.