Pochodna cząstkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennej oznacza się symbolami

Symbol pochodnej cząstkowej (kod HTML: ∂ lub ∂, unikod: U+2202) ma wygląd zaokrąglonej litery „d”. Notacja ta, użyta po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”[1].

Tradycyjnie mówi się, że notacja pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

Wprowadzenie[edytuj]

Wykres funkcji
Wartość z w zależności od x, dla y=1 ()

Niech będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny czy

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w która jest równoległa do płaszczyzny należy traktować zmienną jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji w punkcie którym jest

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie wynosi Dlatego

w punkcie Innymi słowy pochodna cząstkowa względem w punkcie jest równa

Definicja[edytuj]

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej i dane będą punkt oraz funkcja

Jeżeli istnieje skończona granica

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek ze „zwykłą” pochodną[edytuj]

Jeżeli oznaczyć to

jest po prostu pochodną funkcji

Na przykład dla funkcji

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

Pochodne wyższych rzędów[edytuj]

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

jest pochodną rzędu .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus (ang.). jeff560.tripod.com, 2009-06-14. [dostęp 2016-02-09].

Bibliografia[edytuj]

  • Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: PWN, 1953, s. 10.