Pochodna cząstkowa
Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennej oznacza się symbolami
Symbol pochodnej cząstkowej ∂[a] ma wygląd zaokrąglonej litery „d”. Notacja ta, użyta po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”[1].
Tradycyjnie mówi się, że notacja pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.
Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo
Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny czy
Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w która jest równoległa do płaszczyzny należy traktować zmienną jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji w punkcie którym jest
W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie wynosi Dlatego
w punkcie Innymi słowy pochodna cząstkowa względem w punkcie jest równa
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej i dane będą punkt oraz funkcja
Jeżeli istnieje skończona granica
to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.
Związek z pochodną zupełną[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli oznaczyć to
jest po prostu pochodną funkcji
Na przykład dla funkcji
można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:
Pochodne wyższych rzędów[edytuj | edytuj kod]
Pochodne wyższych rzędów oblicza się, różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo są znane jako pochodne mieszane[2].
Pochodne czyste
i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)
Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilekrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.
Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład
jest pochodną rzędu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów zapisuje się także z użyciem notacji wielowskaźnikowej. Wtedy przez gdzie jest wielowskaźnikiem rozumie się
Rząd tej pochodnej cząstkowej wynosi oczywiście
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
- dywergencja, rotacja
- gradient
- macierz Jacobiego
- operator Laplace’a
- operator d’Alemberta
- pochodna kierunkowa
- pochodna zewnętrzna
- pochodna zupełna
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus. jeff560.tripod.com, 2009-06-14. [dostęp 2016-02-09]. (ang.).
- ↑ pochodna funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-02-18] .
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1953, s. 10.