Prawdopodobieństwo warunkowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia  A pod warunkiem zajścia zdarzenia  B , gdzie P(B)>0 nazywamy liczbę

P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Jest to iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń  A , B i prawdopodobieństwa zdarzenia  B .

Używa się też oznaczenia P_{\boldsymbol{B} }(A):=P(A|B). Gdzie P_{\boldsymbol{B} } jest miarą probabilistyczną.

Prawdopodobieństwo warunkowe zbioru[edytuj | edytuj kod]

Niech  ( \Omega, \mathcal{F}, P ) stanowi przestrzeń probabilistyczną, A \in \mathcal F oraz \mathcal G \subseteq \mathcal F.

Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru A\ pod warunkiem σ-ciała \mathcal G\ nazywamy zmienną losową:


P(A|\mathcal G) := \mathbb E(\color{blue}\mathbf 1_{A}|\mathcal G).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład 1

Mamy dwie urny - w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

A oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała,
B oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem, jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie A, to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A, oznaczane przez P(B|A), jest równe 1.


Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech  A oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast  B zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

P(A \cap B) = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{\bar{\bar{\Omega}}},
P(B) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{\bar{\bar{\Omega}}}

Z definicji: P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}

Zdarzenia niezależne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zdarzenia  A i  B są niezależne tj. P(A \cap B)=P(A)P(B) to P(A|B)=P(A) \,.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]